Considere os observáveis . Monte o princípio da incerteza para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente montar o princípio da incerteza entre dois observáveis no contexto da mecânica quântica. Os observáveis são e (o momento angular no eixo z). Para resolver isso, vamos usar conceitos de comutadores e do princípio da incerteza de Heisenberg. Vamos precisar saber como calcular o comutador entre dois operadores e entender como aplicar a incerteza nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que a incerteza (desvio padrão) de dois observáveis e está relacionada ao valor absoluto do comutador entre eles. A fórmula geral é:
Aqui, e são as incertezas de e , respectivamente, e é o comutador desses operadores.

Passo 3

Vamos calcular o comutador . Sabemos que o momento angular é dado por:
Então, precisamos calcular:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
Como e comutam (porque são observáveis em direções diferentes), esse termo é zero.
  1. Segundo termo:
Aqui, e comutam, mas e não. Usamos a relação:
Então,
Portanto,

Passo 5

Agora, juntando os termos:

Passo 6

Aplicando o princípio da incerteza, temos:

Resposta

Portanto, o princípio da incerteza para ��:

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