Considere os observáveis
. Monte o princípio da incerteza para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente montar o princípio da incerteza entre dois observáveis no contexto da mecânica quântica. Os observáveis são
e
(o momento angular no eixo z). Para resolver isso, vamos usar conceitos de comutadores e do princípio da incerteza de Heisenberg. Vamos precisar saber como calcular o comutador entre dois operadores e entender como aplicar a incerteza nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que a incerteza (desvio padrão) de dois observáveis
e
está relacionada ao valor absoluto do comutador entre eles. A fórmula geral é:
Aqui,
e
são as incertezas de
e
, respectivamente, e
é o comutador desses operadores.
Passo 3
Vamos calcular o comutador
. Sabemos que o momento angular
é dado por:
Então, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
Como
e
comutam (porque são observáveis em direções diferentes), esse termo é zero.
- Segundo termo:
Aqui,
e
comutam, mas
e
não. Usamos a relação:
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora, juntando os termos:
Passo 6
Aplicando o princípio da incerteza, temos:
Resposta
Portanto, o princípio da incerteza para
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