Iniciando a partir da expressão (13.24) para a Hamiltoniana, mostre que
. [Sugestão: considere primeiro um sistema com um grau de liberdade, para o qual (13.24) simplifica para
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica Clássica, mais especificamente relacionado às formulações de Lagrange e Hamilton. A missão é mostrar que a derivada parcial da Hamiltoniana em relação ao tempo é igual a menos a derivada parcial da Lagrangiana em relação ao tempo, ou seja:
Para isso, vamos começar considerando um sistema com apenas um grau de liberdade, o que simplifica a expressão da Hamiltoniana para:
Vamos seguir passo a passo para entender e provar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representam esses termos. A
é a Lagrangiana, que depende das coordenadas generalizadas
, das velocidades
e do tempo
. A
é a Hamiltoniana, que depende das coordenadas
, dos momentos canônicos
e do tempo
.
O momento canônico
é definido como a derivada da Lagrangiana em relação à velocidade:
Passo 3
Agora, vamos derivar a Hamiltoniana em relação ao tempo
. Usando a expressão simplificada da Hamiltoniana:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Observamos que
, já que
é definido como a derivada da Lagrangiana em relação à velocidade. Substituindo isso na equação anterior:
Passo 5
Vemos que os termos
se cancelam:
Isso mostra exatamente o que queríamos provar!