Iniciando a partir da expressão (13.24) para a Hamiltoniana, mostre que . [Sugestão: considere primeiro um sistema com um grau de liberdade, para o qual (13.24) simplifica para .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica Clássica, mais especificamente relacionado às formulações de Lagrange e Hamilton. A missão é mostrar que a derivada parcial da Hamiltoniana em relação ao tempo é igual a menos a derivada parcial da Lagrangiana em relação ao tempo, ou seja:
Para isso, vamos começar considerando um sistema com apenas um grau de liberdade, o que simplifica a expressão da Hamiltoniana para:
Vamos seguir passo a passo para entender e provar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representam esses termos. A é a Lagrangiana, que depende das coordenadas generalizadas , das velocidades e do tempo . A é a Hamiltoniana, que depende das coordenadas , dos momentos canônicos e do tempo .
O momento canônico é definido como a derivada da Lagrangiana em relação à velocidade:

Passo 3

Agora, vamos derivar a Hamiltoniana em relação ao tempo . Usando a expressão simplificada da Hamiltoniana:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Observamos que , já que é definido como a derivada da Lagrangiana em relação à velocidade. Substituindo isso na equação anterior:

Passo 5

Vemos que os termos se cancelam:
Isso mostra exatamente o que queríamos provar!

Resposta

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