Duas massas e estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas e como definidas na Seção 8.2. Descreva o movimento para o caso em que e explique fisicamente por que a equação é mais difícil de ser resolvida neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas massas, e , conectadas por uma mola sem massa, que está se movendo num plano horizontal sem atrito. A gente tem que descrever como elas se movem quando o momento angular não é zero e explicar por que a equação para a distância relativa fica mais complicada nesse caso. Vamos usar conceitos de mecânica, como o movimento do centro de massa e o movimento relativo entre as massas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento das duas massas em duas partes: o movimento do centro de massa ( ) e o movimento relativo ( ) entre elas. Isso facilita a análise porque transforma um problema de duas partículas em dois problemas mais simples.

Passo 3

O centro de massa se move com velocidade constante, já que não há forças externas agindo no sistema (o plano é sem atrito). A equação do movimento do centro de massa é dada por:
onde é a massa total. Isso significa que , com sendo a velocidade inicial do centro de massa.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento relativo. A segunda equação envolve a distância entre as duas massas e é influenciada pela mola. A equação geral para é:
onde é a massa reduzida e é o momento angular . O termo vem da força centrípeta devido ao momento angular.

Passo 5

Quando , ou seja, quando há momento angular, a equação para fica mais complicada porque adiciona um termo não linear . Isso torna a equação diferencial mais difícil de resolver analiticamente, pois não é uma equação quadrática simples como no caso sem momento angular.

Passo 6

Fisicamente, a presença de significa que as massas estão girando em torno do centro de massa, criando uma força centrípeta que depende da distância . Essa interação torna o sistema de movimento relativo mais complexo, pois além da força da mola, temos essa força dependente de que dificulta a solução direta da equação.

Resposta

O movimento das duas massas é uma combinação do movimento constante do centro de massa e de um movimento relativo influenciado pela mola e pelo momento angular . Quando , a equação para a distância relativa inclui um termo adicional que depende de , tornando-a mais difícil de resolver devido à sua natureza não linear.

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