Duas massas
e
estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas
e
como definidas na Seção 8.2. Descreva o movimento para o caso em que
e explique fisicamente por que a equação
é mais difícil de ser resolvida neste caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas massas,
e
, conectadas por uma mola sem massa, que está se movendo num plano horizontal sem atrito. A gente tem que descrever como elas se movem quando o momento angular
não é zero e explicar por que a equação para a distância relativa
fica mais complicada nesse caso. Vamos usar conceitos de mecânica, como o movimento do centro de massa e o movimento relativo entre as massas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o movimento das duas massas em duas partes: o movimento do centro de massa (
) e o movimento relativo (
) entre elas. Isso facilita a análise porque transforma um problema de duas partículas em dois problemas mais simples.
Passo 3
O centro de massa se move com velocidade constante, já que não há forças externas agindo no sistema (o plano é sem atrito). A equação do movimento do centro de massa é dada por:
onde
é a massa total. Isso significa que
, com
sendo a velocidade inicial do centro de massa.
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento relativo. A segunda equação envolve a distância
entre as duas massas e é influenciada pela mola. A equação geral para
é:
onde
é a massa reduzida e
é o momento angular
. O termo
vem da força centrípeta devido ao momento angular.
Passo 5
Quando
, ou seja, quando há momento angular, a equação para
fica mais complicada porque adiciona um termo não linear
. Isso torna a equação diferencial mais difícil de resolver analiticamente, pois não é uma equação quadrática simples como no caso sem momento angular.
Passo 6
Fisicamente, a presença de
significa que as massas estão girando em torno do centro de massa, criando uma força centrípeta que depende da distância
. Essa interação torna o sistema de movimento relativo mais complexo, pois além da força da mola, temos essa força dependente de
que dificulta a solução direta da equação.
Resposta
O movimento das duas massas é uma combinação do movimento constante do centro de massa e de um movimento relativo influenciado pela mola e pelo momento angular
. Quando
, a equação para a distância relativa
inclui um termo adicional que depende de
, tornando-a mais difícil de resolver devido à sua natureza não linear.