Considere a massa compelida à superfície de um cone, descrita no Exemplo 13.4. Vimos que devem haver alturas máxima e mínima,
e
, respectivamente, além das quais a massa não pode ultrapassar. Quando
for um máximo ou um mínimo, deve acontecer que
. Mostre que isso acontece se e somente se o momento conjugado
e use a equação
, onde
é a função Hamiltoniana (13.33), para mostrar que, para uma dada energia
, isso ocorre para exatamente dois valores de
. [Sugestão: obtenha a função
para o caso em que
e esboce o seu comportamento como uma função de
quando
. Quantas vezes essa função pode igualar-se a um dado valor de
?] Use o seu esboço para descrever o movimento da massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma massa que está se movendo na superfície de um cone. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Hamiltoniana, que é uma parte da física que estuda o movimento das partículas usando funções chamadas de Hamiltonianas. Para resolver esse problema, a gente vai precisar entender o que é o momento conjugado
e a função Hamiltoniana
. Vamos mostrar que quando a altura
da massa atinge um máximo ou mínimo (
ou
), o momento conjugado
é zero. Depois, vamos usar a equação
para provar que, para uma energia dada
, isso acontece em exatamente dois valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso representa que a velocidade vertical da massa está zero, ou seja, ela está no ponto mais alto ou mais baixo da trajetória. Na linguagem da Mecânica Hamiltoniana, a velocidade
está relacionada ao momento conjugado
pela equação:
Se
, então:
Isso implica que, para a função Hamiltoniana, a derivada parcial em relação a
é zero, o que nos leva a concluir que
nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação
, onde
é a função Hamiltoniana e
é a energia total da massa. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação quando
.
Primeiro, precisamos expressar a Hamiltoniana
para o sistema. Geralmente, a Hamiltoniana é dada pela soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Como estamos considerando
, a parte da energia cinética associada ao movimento vertical desaparece, e a Hamiltoniana simplifica para a energia potencial:
Passo 4
Para visualizar isso melhor, vamos esboçar a função
quando
. Supondo que a energia potencial
depende apenas da altura
, temos uma função que varia com
no intervalo
.
O esboço típico de
em um cone pode ter um mínimo em algum ponto, representando a posição de equilíbrio. À medida que
aumenta ou diminui a partir desse ponto,
aumenta, indicando que a energia potencial está subindo.
Passo 5
Agora, para uma energia fixa
, queremos ver quantos valores de
satisfazem
. No esboço de
, a linha horizontal representando
vai cortar a curva
em exatamente dois pontos: um onde
é menor que o ponto de equilíbrio e outro onde
é maior.
Isso significa que, para uma energia dada
, existem exatamente dois valores de
onde
. Esses pontos correspondem aos extremos
e
.
Passo 6
Finalmente, vamos descrever o movimento da massa usando o esboço. A massa oscila entre
e
. Quando
atinge
, a massa começa a subir até alcançar
, onde ela para momentaneamente (
) antes de começar a descer de novo. Esse movimento é periódico, com a massa oscilando continuamente entre esses dois valores de
.
Resposta
Mostramos que quando a altura
atinge um máximo ou mínimo
ou
, o momento conjugado
. Além disso, para uma energia dada
, existem exatamente dois valores de
que satisfazem
, indicando que a massa oscila entre esses dois pontos de altura.