Considere a massa compelida à superfície de um cone, descrita no Exemplo 13.4. Vimos que devem haver alturas máxima e mínima, á e í, respectivamente, além das quais a massa não pode ultrapassar. Quando for um máximo ou um mínimo, deve acontecer que . Mostre que isso acontece se e somente se o momento conjugado e use a equação , onde é a função Hamiltoniana (13.33), para mostrar que, para uma dada energia , isso ocorre para exatamente dois valores de . [Sugestão: obtenha a função para o caso em que e esboce o seu comportamento como uma função de quando . Quantas vezes essa função pode igualar-se a um dado valor de ?] Use o seu esboço para descrever o movimento da massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma massa que está se movendo na superfície de um cone. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Hamiltoniana, que é uma parte da física que estuda o movimento das partículas usando funções chamadas de Hamiltonianas. Para resolver esse problema, a gente vai precisar entender o que é o momento conjugado e a função Hamiltoniana . Vamos mostrar que quando a altura da massa atinge um máximo ou mínimo ( á ou í), o momento conjugado é zero. Depois, vamos usar a equação para provar que, para uma energia dada , isso acontece em exatamente dois valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso representa que a velocidade vertical da massa está zero, ou seja, ela está no ponto mais alto ou mais baixo da trajetória. Na linguagem da Mecânica Hamiltoniana, a velocidade está relacionada ao momento conjugado pela equação:
Se , então:
Isso implica que, para a função Hamiltoniana, a derivada parcial em relação a é zero, o que nos leva a concluir que nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação , onde é a função Hamiltoniana e é a energia total da massa. Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação quando .
Primeiro, precisamos expressar a Hamiltoniana para o sistema. Geralmente, a Hamiltoniana é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial :
Como estamos considerando , a parte da energia cinética associada ao movimento vertical desaparece, e a Hamiltoniana simplifica para a energia potencial:

Passo 4

Para visualizar isso melhor, vamos esboçar a função quando . Supondo que a energia potencial depende apenas da altura , temos uma função que varia com no intervalo .
O esboço típico de em um cone pode ter um mínimo em algum ponto, representando a posição de equilíbrio. À medida que aumenta ou diminui a partir desse ponto, aumenta, indicando que a energia potencial está subindo.

Passo 5

Agora, para uma energia fixa , queremos ver quantos valores de satisfazem . No esboço de , a linha horizontal representando vai cortar a curva em exatamente dois pontos: um onde é menor que o ponto de equilíbrio e outro onde é maior.
Isso significa que, para uma energia dada , existem exatamente dois valores de onde . Esses pontos correspondem aos extremos á e í.

Passo 6

Finalmente, vamos descrever o movimento da massa usando o esboço. A massa oscila entre í e á. Quando atinge í, a massa começa a subir até alcançar á, onde ela para momentaneamente ( ) antes de começar a descer de novo. Esse movimento é periódico, com a massa oscilando continuamente entre esses dois valores de .

Resposta

Mostramos que quando a altura atinge um máximo ou mínimo á ou í, o momento conjugado . Além disso, para uma energia dada , existem exatamente dois valores de que satisfazem , indicando que a massa oscila entre esses dois pontos de altura.

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