O vagão de uma montanha-russa, com massa
, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano
(
horizontal e
verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por
. Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana
(como uma função de
e
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Mecânica Clássica, mais especificamente com os conceitos de Lagrangiana e Hamiltoniana. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana do sistema, o momento generalizado e a Hamiltoniana usando a coordenada generalizada
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam na Lagrangiana e na Hamiltoniana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Então, nosso primeiro passo é determinar quais são essas energias para o vagão da montanha-russa.
Passo 3
A energia cinética
de um objeto em movimento é dada por:
Aqui,
é a massa do vagão e
é a sua velocidade. No nosso caso, o vagão está se movendo no plano
, então a velocidade
tem componentes nas direções
e
. Podemos expressar isso como:
Onde
é a derivada de
em relação ao tempo (ou seja, a velocidade na direção
), e
é a velocidade na direção
.
Passo 4
Sabemos que a altura
do trilho depende de
e é dada por
. Então, a velocidade na direção
pode ser encontrada derivando
em relação ao tempo:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Agora, substituindo
na expressão da energia cinética:
Passo 5
A energia potencial
do vagão é devida à gravidade e é dada por:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a Lagrangiana
:
Passo 7
O próximo passo é encontrar o momento generalizado
, que é dado pela derivada da Lagrangiana em relação à velocidade
:
Passo 8
Agora, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 9
Por fim, a Hamiltoniana
é dada por:
Substituindo
e
na equação, temos:
Simplificando essa expressão:
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é dada por: