O vagão de uma montanha-russa, com massa , se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano ( horizontal e verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por . Usando como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana (como uma função de e ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Mecânica Clássica, mais especificamente com os conceitos de Lagrangiana e Hamiltoniana. O objetivo aqui é encontrar a Lagrangiana do sistema, o momento generalizado e a Hamiltoniana usando a coordenada generalizada . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam na Lagrangiana e na Hamiltoniana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Então, nosso primeiro passo é determinar quais são essas energias para o vagão da montanha-russa.

Passo 3

A energia cinética de um objeto em movimento é dada por:
Aqui, é a massa do vagão e é a sua velocidade. No nosso caso, o vagão está se movendo no plano , então a velocidade tem componentes nas direções e . Podemos expressar isso como:
Onde é a derivada de em relação ao tempo (ou seja, a velocidade na direção ), e é a velocidade na direção .

Passo 4

Sabemos que a altura do trilho depende de e é dada por . Então, a velocidade na direção pode ser encontrada derivando em relação ao tempo:
Aqui, é a derivada de em relação a .
Agora, substituindo na expressão da energia cinética:

Passo 5

A energia potencial do vagão é devida à gravidade e é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a Lagrangiana :

Passo 7

O próximo passo é encontrar o momento generalizado , que é dado pela derivada da Lagrangiana em relação à velocidade :

Passo 8

Agora, precisamos expressar em termos de :

Passo 9

Por fim, a Hamiltoniana é dada por:
Substituindo e na equação, temos:
Simplificando essa expressão:

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é dada por:

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