Considere o poço esférico infinito,
Calcule as funções de onda e as energias permitidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o poço esférico infinito! Basicamente, temos uma partícula confinada dentro de uma esfera de raio
, onde a energia potencial
é zero dentro da esfera (
) e infinita fora dela (
). Nosso objetivo é encontrar as funções de onda que descrevem o estado quântico dessa partícula e as energias permitidas que ela pode ter. Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger na forma esférica e aplicar as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a Equação de Schrödinger para essa situação. Como o potencial é esférico, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. A equação é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o operador laplaciano,
é a função de onda, e
é a energia total da partícula.
Passo 3
Vamos separar a função de onda em partes que dependem apenas de
,
e
:
Substituindo na equação de Schrödinger e separando variáveis, vamos obter uma equação para
que depende apenas de
.
Passo 4
A parte radial da equação de Schrödinger fica:
Aqui,
é o número quântico angular, que vem da solução da parte angular
. Como o potencial é esférico,
pode ser 0, 1, 2, etc.
Passo 5
Dentro do poço (
),
, então a equação simplifica para:
Essa é a Equação de Schrödinger radial para o poço esférico infinito.
Passo 6
A solução geral dessa equação é dada pelas funções esféricas de Bessel. Para obter soluções físicas (que não divergem no centro), usamos as esferas de Bessel do tipo finito. A função radial fica então:
Onde
é uma constante de normalização e
é a função de Bessel esférica de ordem
.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição de contorno. Fora do poço (
),
, então a função de onda deve ser zero lá:
Isso implica que em
, a função de onda deve ser contínua e igual a zero. Portanto:
Passo 8
Aplicando
na solução radial, temos:
Para que isso seja verdade (com
), o argumento da função de Bessel deve ser uma raiz da função
. Ou seja:
Onde
é a
-ésima raiz não-trivial da função de Bessel esférica de ordem
.
Passo 9
Resolvendo para
, obtemos as energias permitidas:
Aqui, cada energia depende do número quântico radial
e do número quântico angular
.
Passo 10
Portanto, as funções de onda são:
E as energias permitidas são:
Resposta
As funções de onda são dadas por:
E as energias permitidas são:
Onde
são as raízes da função de Bessel esférica
para os números quânticos
e
,
são as funções harmônicas esféricas, e
é a constante de normalização.