Considere o poço esférico infinito,
Calcule as funções de onda e as energias permitidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o poço esférico infinito! Basicamente, temos uma partícula confinada dentro de uma esfera de raio , onde a energia potencial é zero dentro da esfera ( ) e infinita fora dela ( ). Nosso objetivo é encontrar as funções de onda que descrevem o estado quântico dessa partícula e as energias permitidas que ela pode ter. Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger na forma esférica e aplicar as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a Equação de Schrödinger para essa situação. Como o potencial é esférico, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. A equação é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o operador laplaciano, é a função de onda, e é a energia total da partícula.

Passo 3

Vamos separar a função de onda em partes que dependem apenas de , e :
Substituindo na equação de Schrödinger e separando variáveis, vamos obter uma equação para que depende apenas de .

Passo 4

A parte radial da equação de Schrödinger fica:
Aqui, é o número quântico angular, que vem da solução da parte angular . Como o potencial é esférico, pode ser 0, 1, 2, etc.

Passo 5

Dentro do poço ( ), , então a equação simplifica para:
Essa é a Equação de Schrödinger radial para o poço esférico infinito.

Passo 6

A solução geral dessa equação é dada pelas funções esféricas de Bessel. Para obter soluções físicas (que não divergem no centro), usamos as esferas de Bessel do tipo finito. A função radial fica então:
Onde é uma constante de normalização e é a função de Bessel esférica de ordem .

Passo 7

Agora, aplicamos a condição de contorno. Fora do poço ( ), , então a função de onda deve ser zero lá:
Isso implica que em , a função de onda deve ser contínua e igual a zero. Portanto:

Passo 8

Aplicando na solução radial, temos:
Para que isso seja verdade (com ), o argumento da função de Bessel deve ser uma raiz da função . Ou seja:
Onde é a -ésima raiz não-trivial da função de Bessel esférica de ordem .

Passo 9

Resolvendo para , obtemos as energias permitidas:
Aqui, cada energia depende do número quântico radial e do número quântico angular .

Passo 10

Portanto, as funções de onda são:
E as energias permitidas são:

Resposta

As funções de onda são dadas por:
E as energias permitidas são:
Onde são as raízes da função de Bessel esférica para os números quânticos e , são as funções harmônicas esféricas, e é a constante de normalização.

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