(a) Resolva todas as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores r e p:
, e assim por diante. Resposta:
em que os índices representam
ou
e
.
(b) Confirme o teorema de Ehrenfest para três dimensões:
(Cada uma delas, é claro, representa três equações, uma para cada componente.) Dica: primeiro verifique se a Equação 3.71 é válida em três dimensões.
(b) Confirme o teorema de Ehrenfest para três dimensões:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que tem duas partes. Na primeira, precisamos encontrar as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores de posição (
) e momento (
). Isso envolve entender como esses operadores interagem matematicamente. Na segunda parte, vamos confirmar o teorema de Ehrenfest para três dimensões, que relaciona as derivadas temporais das expectativas dos operadores de posição e momento com as forças no sistema. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos comutadores e como calcular expectativas de operadores em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para encontrar as relações de comutação entre os componentes dos operadores de posição
e momento
. Sabemos que em mecânica quântica, os operadores de posição e momento obedecem certas relações de comutação fundamentais, conhecidas como relações de comutação canônicas.
A relação de comutação entre posição e momento é dada por:
Aqui,
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário. Isso significa que a posição e o momento na mesma direção (
,
ou
) não comutam, enquanto posições e momentos em direções diferentes comutam.
Além disso, os operadores de posição comutam entre si, assim como os operadores de momento comutam entre si:
Portanto, as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores
e
são:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que solicita a confirmação do teorema de Ehrenfest para três dimensões. O teorema de Ehrenfest relaciona a evolução temporal das expectativas dos operadores de posição
e momento
com as forças atuantes no sistema.
As equações do teorema de Ehrenfest são:
Para confirmar essas equações em três dimensões, vamos usar a equação de Heisenberg para a evolução temporal de um operador:
Assumindo que os operadores de posição
não dependem explicitamente do tempo, temos:
Considerando o Hamiltoniano
, o comutador
se simplifica para:
Substituindo de volta na equação de Heisenberg:
Isso confirma a primeira equação de Ehrenfest para cada componente.
Para a segunda equação, consideramos o operador de momento
:
Calculando o comutador:
Usando a propriedade de que
, temos:
Isso confirma a segunda equação de Ehrenfest para cada componente.
Resposta
As relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores de posição e momento são:
Além disso, o teorema de Ehrenfest para três dimensões é confirmado pelas equações: