Use a separação de variáveis em coordenadas cartesianas para resolver o poço cúbico infinito (ou ‘partícula em uma caixa’):
(a) Calcule os estados estacionários e suas energias correspondentes.
(b) Chame de
as energias distintas, em ordem crescente. Encontre
. Determine a degenerescência de cada um desses valores (ou seja, o número de estados distintos que compartilham da mesma energia). Comentário: em uma dimensão, não ocorrem estados ligados degenerados (veja o Problema 2.45), porém, em três dimensões eles são muito comuns.
© Qual é a degenerescência de
e por que esse caso é interessante?
(a) Calcule os estados estacionários e suas energias correspondentes.
(b) Chame de
© Qual é a degenerescência de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o poço cúbico infinito, também conhecido como “partícula na caixa”. A gente vai usar a separação de variáveis nas coordenadas cartesianas para achar os estados estacionários e as energias correspondentes dessa partícula confinada. Vamos precisar entender um pouco da equação de Schrödinger e como aplicar as condições de contorno nesse sistema tridimensional. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver a equação de Schrödinger independente do tempo em três dimensões, a gente pode separar as variáveis nas coordenadas
,
e
. A equação fica:
No nosso caso, o potencial
é zero dentro do poço (entre 0 e
) e infinito fora. Isso significa que a função de onda
deve ser zero fora do poço e também nas fronteiras
,
,
,
,
e
.
Passo 3
Vamos separar as variáveis assumindo que a função de onda pode ser escrita como produto de funções só de
,
e
:
Substituindo na equação de Schrödinger e dividindo por
, a gente obtém:
Como cada termo depende de uma coordenada diferente, cada termo deve ser igual a uma constante. Vamos chamar essas constantes de
,
e
, de forma que:
Passo 4
Cada uma dessas equações unidimensionais é semelhante à equação da partícula em uma dimensão. A solução para cada coordenada será uma função senoidal que satisfaz as condições de contorno (função zero nas fronteiras). Assim, as soluções são:
Onde
,
e
são números quânticos positivos inteiros (1, 2, 3, …).
Passo 5
As energias associadas a cada direção são dadas por:
Portanto, a energia total
será a soma dessas:
Passo 6
Agora, para encontrar os estados estacionários e suas energias correspondentes (parte a do exercício), basta combinar os números quânticos
,
e
e calcular
usando a fórmula acima. Cada combinação distinta de
representa um estado estacionário diferente.
Resposta
a) Os estados estacionários são dados pelas combinações dos números quânticos
,
e
, onde cada
é um inteiro positivo (1, 2, 3, …). As energias correspondentes são:
b) Para encontrar as primeiras seis energias distintas
e
, e suas degenerescências, vamos listar as combinações de
,
e
que resultam nos menores valores de
:
-
:
Degenerescência: 1 -
: , ,
Degenerescência: 3 -
: , ,
Degenerescência: 3 -
: , ,
Degenerescência: 3 -
:
Degenerescência: 1 -
: , , , , ,
Degenerescência: 6
c) A energia
corresponde ao valor de energia
. Observando os estados que somam
, temos seis combinações distintas:
,
,
,
,
e
.
Degenerescência de
: 6
Por que é interessante? Esse caso mostra como, em três dimensões, diferentes combinações de números quânticos podem levar ao mesmo valor de energia, resultando em estados degenerados. Isso não ocorre em uma dimensão, onde cada energia corresponde a um único estado. A degenerescência está relacionada à simetria do sistema e tem implicações importantes em propriedades físicas como a densidade de estados e a condução eletrônica em materiais.