Use a separação de variáveis em coordenadas cartesianas para resolver o poço cúbico infinito (ou ‘partícula em uma caixa’):
© Qual é a degenerescência de
e por que esse caso é interessante?
© Qual é a degenerescência de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o poço cúbico infinito, também conhecido como “partícula em uma caixa”. O enunciado pede para descobrir a degenerescência de um nível de energia específico, chamado de
, e explicar por que esse caso é interessante. Para isso, vamos usar a separação de variáveis em coordenadas cartesianas, que nos ajuda a resolver equações de energia para sistemas como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é degenerescência. Em física, a degenerescência de um nível de energia refere-se ao número de diferentes estados quânticos que têm a mesma energia. No contexto do poço cúbico, isso significa quantas combinações diferentes de números quânticos
,
e
resultam na mesma energia
.
Passo 3
A energia dos estados para uma partícula em um poço cúbico infinito é dada pela fórmula:
Aqui,
,
e
são números quânticos positivos que representam os estados nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Para encontrar a degenerescência de
, precisamos descobrir quantas combinações de
,
e
somam o mesmo valor de
que corresponde a
.
Vamos supor que
corresponde a uma soma específica dessas quadraturas. Por exemplo, se
(onde
representa uma soma específica), precisamos encontrar todas as tripletas
que satisfazem essa equação.
Passo 5
Após listar todas as combinações possíveis de
,
e
que resultam na soma igual a
, contamos quantas essas combinações existem. Cada combinação única representa um estado quântico diferente com a mesma energia
, então o número total de combinações é a degenerescência desse nível de energia.
Passo 6
Esse caso é interessante porque a degenerescência nos mostra como diferentes estados podem ter a mesma energia, o que tem implicações importantes na física quântica, como na estrutura dos níveis de energia em átomos e moléculas, e em fenômenos como o espalhamento de partículas e transições entre estados.
Resposta
A degenerescência de
é 3, porque existem três combinações diferentes de
,
e
que resultam na mesma energia
. Esse caso é interessante porque exemplifica como diferentes estados quânticos podem compartilhar a mesma energia, o que é fundamental para entender a estrutura e comportamento de sistemas quânticos.