Considere um potencial vetor, em coordenadas esféricas, dado por
ll A=muo r(R^23-r^25) sen theta ephi & para r <= R A=2 muo R^515 r^2 sen theta ephi & para r >= R
a) Calcule o campo magnético B e a densidade de corrente jmath.
b) Calcule a energia magnética usando (3.48) e (3.49).

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas esféricas
A= mu0,rl(tfracR^23-tfracr^25r)sintheta,hat ephi,&r<= R,[6pt] tfrac2mu0R^515,r^2sintheta,hat ephi,&r>= R,
e pede:
1) o campo magnético vec B=nablatimesvec A e a densidade de corrente vecjmath=(1/mu0)nablatimesvec B;
2) a energia magnética usando as fórmulas
U=12mu0integral B^2,d^3r ou U=12integralvec Acdotvecjmath,d^3r
Vamos usar a forma do rotacional em coordenadas esféricas para um campo que só tem componente phi.
]

Passo 2

Para um potencial com só componente phi, Aphi=Aphi(r,theta), vale
Br=1rsintheta,partialpartialthetal(sintheta,Aphir), Btheta=-1r,partialpartial rl(r,Aphir), Bphi=0
Dentro ( r<= R) temos Aphi=mu0,rl(tfracR^23-tfracr^25r)sintheta.
Cálculo direto leva a
vec B(r<= R) =2mu0(5R^2-3r^2)15costheta,hat er -2mu0(5R^2-6r^2)15sintheta,hat etheta
Fora ( r>= R), Aphi=tfrac2mu0R^515r^2sintheta e o mesmo procedimento dá
vec B(r>= R) =4mu0R^515,r^3costheta,hat er +2mu0R^515,r^3sintheta,hat etheta

Passo 3

Usando a lei de Ampère local nablatimesvec B=mu0,vecjmath, só aparece componente phi:
(nablatimesvec B)phi =1rl[partialpartial r(rBtheta) -partial Brpartialthetar]
Fazendo esse cálculo em r<= R encontra-se
(nablatimesvec B)phi=2mu0,rsintheta,
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vecjmath(r<= R) =1mu0(nablatimesvec B) =2,rsintheta,hat ephi,
e para r>R não há corrente, vecjmath=0.

Passo 4

Para a energia magnética é mais prático usar
U=12integral vec Acdotvecjmath,d^3r,
pois vecjmath está só em r<= R. Assim
vec Acdotvecjmath =Aphi,jphi =2mu0,r^2l(tfracR^23-tfracr^25r)sin^2theta
Em coordenadas esféricas d^3r=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi.

Passo 5

O volume de integração é 0<= r<= R, 0<=theta<=pi, 0<=phi<2pi. Então
U =12integral0^2pi!!dphiintegral0^pi!!dthetaintegral0^R! 2mu0,r^2l(tfracR^23-tfracr^25r)sin^2theta, r^2sintheta,dr
Fazendo as integrais angulares integral0^2pidphi=2pi, integral0^pisin^3theta,dtheta=4/3, e a radial
integral0^Rr^4l(tfracR^23-tfracr^25r)dr =R^7l(tfrac115-tfrac135r) =4R^7105,
obtém-se
U =12cdot2picdot43cdot2mu0cdot4R^7105 =32pi,mu0,R^7315

Resposta

Para r<= R:
vec B =2mu0(5R^2-3r^2)15costheta,hat er -2mu0(5R^2-6r^2)15sintheta,hat etheta, vecjmath =2,rsintheta,hat ephi
Para r>= R:
vec B =4mu0R^515,r^3costheta,hat er +2mu0R^515,r^3sintheta,hat etheta, vecjmath=0
Energia magnética:
U=32pi,mu0,R^7315

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