*Um dipolo está numa região onde existe um campo magnético B. Mostre que sua energia é
Ep=-m cdot B
É oportuno comparar com o resultado -p cdot E da Eletrostática.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um dipolo magnético, com momento m, imerso num campo magnético B, possui energia potencial
Ep = -mcdotB,
O conteúdo envolvido é o vínculo entre torque magnético e energia potencial, de forma análoga ao caso eletrostático em que Ep=-pcdotE. Vamos usar a expressão do torque sobre um dipolo e a relação dE=-tau,dtheta.

Passo 2

Para um loop de corrente (ou dipolo magn’etico) o torque resultante `e dado por
tau = m times B,,
onde m tem m’odulo m=I,A (corrente vezes 'area) e direc\c{c}~ao normal ao la\c{c}o. Esse torque tende a girar m at’e alinh’a-lo com B.

Passo 3

A energia potencial E(theta) associada à rotação do dipolo num plano que forma ângulo theta com B satisfaz
dE = -tau,dtheta
em módulo. Como tau = mBsintheta, temos
dE = -mBsintheta,dtheta,

Passo 4

Integramos desde uma orientação de referência, por exemplo theta=pi/2 (onde escolhemos E(pi/2)=0), até um ângulo genérico theta:
E(theta) - 0 = -integralpi/2^theta mBsintheta',dtheta' = -mBl[-costheta'r]pi/2^theta = -mB,costheta,
Em forma vetorial isso fica
Ep = -mcdotB,,
exatamente análogo ao caso elétrico -pcdotE.

Resposta

Ep = -mcdotB

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