*Um toróide de raio R possui N espiras. Sendo a o raio da seção reta, calcule a indutância. Considere a ll R.

Passo 1

O enunciado pede a indutância de um toroide com raio médio R, seção reta circular de raio a e N espiras, no regime magnético do vazio ( mu0). Como all R, vamos aproximar o denominador constante em rapprox R. Usaremos Ampère para achar o campo B(r), depois calculamos o fluxo magnético por espira e, por fim, a indutância L.

Passo 2

Dentro do toroide, pela lei de Ampère, o campo magnético em função do raio r ( R-a<= r<= R+a ) é
B(r);=;mu0,N,I2pi,r,

Passo 3

O fluxo que atravessa uma única espira é
Phi ;=;integralAB(r),dA ;=;mu0,N,I2pi;integralAdAr,
Como as N espiras ficam acopladas, o fluxo ligado total é lambda=NPhi e a indutância é
L ;=;lambdaI ;=;mu0,N^22pi;integralAdAr,

Passo 4

Parametrizamos a área da seção reta em coordenadas polares (rho,theta) centradas no círculo médio, de modo que
r=R+rhocostheta , dA=rho,drho,dtheta , 0<=rho<= a,;0<=theta<2pi
Então o integral fica
integralAdAr =integral0^2pi!integral0^arhoR+rhocostheta;drho,dtheta

Passo 5

Como all R, aproximamos R+rhocosthetaapprox R dentro do integral, logo
integralAdAr approx1R,integralAdA =1R;(pi a^2)
Substituindo em L, obtemos
Lapproxmu0,N^22pi;pi a^2R =mu0,N^2,a^22,R,

Resposta

L;approx;mu0,N^2,a^22,R(para all R)

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