Considere o problema bem conhecido de um carrinho de massa
, preso a uma mola (constante da força
), movendo-se ao longo do eixo
, cuja outra extremidade é mantida fixa (Figura 5.2). Se ignoramos a massa da mola (como quase sempre fazemos), sabemos que o carrinho executa um movimento harmônico simples com frequência angular
. Usando o formalismo Lagrangiano, você pode determinar o efeito da massa da mola
, da seguinte forma: obtenha a equação de Lagrange e mostre que o carrinho ainda executa um movimento harmônico simples, mas com frequência angular
, isto é, o efeito da massa da mola
corresponde a adicionar
à massa do carrinho.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um carrinho de massa
preso a uma mola com constante
, que se move no eixo
. Geralmente, ignoramos a massa da mola e dizemos que a frequência angular do movimento harmônico simples é
. Mas aqui, queremos considerar a massa da mola,
, e ver como isso afeta a frequência. Para isso, vamos usar o formalismo Lagrangiano, que nos ajuda a descrever sistemas físicos usando energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Lagrangiano. Ele é definido como
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial do sistema. Precisamos identificar essas energias para o nosso sistema com o carrinho e a mola.
Passo 3
Vamos começar com a energia potencial
. Como temos uma mola, a energia potencial armazenada nela é
, onde
é a compressão ou extensão da mola.
Passo 4
Agora, a energia cinética
. Aqui é onde a massa da mola entra em jogo. Se a mola tem massa
, não podemos ignorar a energia cinética dela. Para simplificar, consideramos que a mola é uniforme e que cada parte dela se move com uma velocidade proporcional à posição. A energia cinética total será a soma da energia cinética do carrinho e da mola.
Passo 5
A energia cinética do carrinho é simples:
, onde
é a velocidade do carrinho.
Para a mola, a energia cinética é um pouco mais complicada. Se a mola tem comprimento
e é esticada ou comprimida por
, cada parte da mola a uma posição
(variando de 0 a
) tem velocidade
. Integrando isso ao longo da mola, obtemos
.
Passo 6
Então, a energia cinética total é:
Passo 7
A energia potencial total
permanece
. Agora, vamos escrever o Lagrangiano:
Passo 8
Com o Lagrangiano em mãos, usamos a equação de Lagrange:
Calculando as derivadas:
Então,
Simplificando:
Passo 9
Essa é a equação de movimento para o sistema. Ela tem a forma de um oscilador harmônico simples:
Comparando com a equação padrão
, identificamos que a frequência angular é:
Resposta
Portanto, considerando a massa da mola
, a frequência angular do movimento harmônico simples do carrinho é: