Considere o problema bem conhecido de um carrinho de massa , preso a uma mola (constante da força ), movendo-se ao longo do eixo , cuja outra extremidade é mantida fixa (Figura 5.2). Se ignoramos a massa da mola (como quase sempre fazemos), sabemos que o carrinho executa um movimento harmônico simples com frequência angular . Usando o formalismo Lagrangiano, você pode determinar o efeito da massa da mola , da seguinte forma: obtenha a equação de Lagrange e mostre que o carrinho ainda executa um movimento harmônico simples, mas com frequência angular , isto é, o efeito da massa da mola corresponde a adicionar à massa do carrinho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um carrinho de massa preso a uma mola com constante , que se move no eixo . Geralmente, ignoramos a massa da mola e dizemos que a frequência angular do movimento harmônico simples é . Mas aqui, queremos considerar a massa da mola, , e ver como isso afeta a frequência. Para isso, vamos usar o formalismo Lagrangiano, que nos ajuda a descrever sistemas físicos usando energia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Lagrangiano. Ele é definido como , onde é a energia cinética e é a energia potencial do sistema. Precisamos identificar essas energias para o nosso sistema com o carrinho e a mola.

Passo 3

Vamos começar com a energia potencial . Como temos uma mola, a energia potencial armazenada nela é , onde é a compressão ou extensão da mola.

Passo 4

Agora, a energia cinética . Aqui é onde a massa da mola entra em jogo. Se a mola tem massa , não podemos ignorar a energia cinética dela. Para simplificar, consideramos que a mola é uniforme e que cada parte dela se move com uma velocidade proporcional à posição. A energia cinética total será a soma da energia cinética do carrinho e da mola.

Passo 5

A energia cinética do carrinho é simples: , onde é a velocidade do carrinho.
Para a mola, a energia cinética é um pouco mais complicada. Se a mola tem comprimento e é esticada ou comprimida por , cada parte da mola a uma posição (variando de 0 a ) tem velocidade . Integrando isso ao longo da mola, obtemos .

Passo 6

Então, a energia cinética total é:

Passo 7

A energia potencial total permanece . Agora, vamos escrever o Lagrangiano:

Passo 8

Com o Lagrangiano em mãos, usamos a equação de Lagrange:
Calculando as derivadas:
Então,
Simplificando:

Passo 9

Essa é a equação de movimento para o sistema. Ela tem a forma de um oscilador harmônico simples:
Comparando com a equação padrão , identificamos que a frequência angular é:

Resposta

Portanto, considerando a massa da mola , a frequência angular do movimento harmônico simples do carrinho é:

Exercícios de Livros Relacionados