Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) que está suspensa em uma extremidade fixa
e tem uma massa
presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. Determine as duas equações de Lagrange para o sistema e interprete-as em termos da segunda lei de Newton, conforme a Equação (1.48).
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um pêndulo feito com uma mola que tem comprimento natural
e constante da mola
. Nessa mola está preso um peso de massa
. O sistema está preso num ponto fixo
e pode se mover apenas num plano vertical. Nosso objetivo é montar as duas equações de Lagrange para esse sistema e entender como elas se relacionam com a segunda lei de Newton. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange da mecânica. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o movimento do sistema. Como o pêndulo está restrito ao plano vertical e a mola pode esticar e comprimir, podemos usar coordenadas polares: o comprimento da mola
e o ângulo
que a mola faz com a vertical. Mas, como o movimento é apenas vertical,
será constante, então nossa principal coordenada será
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
do sistema. A energia cinética de um objeto em movimento é dada por
. No nosso caso, a velocidade
é a derivada de
em relação ao tempo, ou seja,
. Portanto:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a energia potencial
do sistema. A energia potencial da mola é
e a energia potencial gravitacional é
. Como estamos no plano vertical e
, temos
. Então:
Passo 5
Agora, vamos montar a função de Lagrange
, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 6
Para obter as equações de Lagrange, usamos a fórmula:
Vamos calcular cada termo.
Primeiro, a derivada parcial da Lagrange em relação a
:
Então, a derivada temporal disso:
Agora, a derivada parcial da Lagrange em relação a
:
Passo 7
Substituindo esses resultados na equação de Lagrange:
Simplificando:
Ou, reorganizando:
Passo 8
Essa é a única equação que descreve o movimento do sistema, já que temos apenas uma coordenada
. A segunda equação de Lagrange não é necessária nesse caso por causa da simetria do problema. Porém, se considerarmos pequenas oscilações angulares, poderíamos adicionar uma segunda equação para
, mas para o movimento vertical puro, fica apenas uma equação.
Resposta
A equação de Lagrange para o sistema é:
Essa equação relaciona a segunda lei de Newton ao considerar as forças da mola e da gravidade agindo na massa
.