Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) que está suspensa em uma extremidade fixa e tem uma massa presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. Determine as duas equações de Lagrange para o sistema e interprete-as em termos da segunda lei de Newton, conforme a Equação (1.48).

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um pêndulo feito com uma mola que tem comprimento natural e constante da mola . Nessa mola está preso um peso de massa . O sistema está preso num ponto fixo e pode se mover apenas num plano vertical. Nosso objetivo é montar as duas equações de Lagrange para esse sistema e entender como elas se relacionam com a segunda lei de Newton. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange da mecânica. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o movimento do sistema. Como o pêndulo está restrito ao plano vertical e a mola pode esticar e comprimir, podemos usar coordenadas polares: o comprimento da mola e o ângulo que a mola faz com a vertical. Mas, como o movimento é apenas vertical, será constante, então nossa principal coordenada será .

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. A energia cinética de um objeto em movimento é dada por . No nosso caso, a velocidade é a derivada de em relação ao tempo, ou seja, . Portanto:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia potencial do sistema. A energia potencial da mola é e a energia potencial gravitacional é . Como estamos no plano vertical e , temos . Então:

Passo 5

Agora, vamos montar a função de Lagrange , que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 6

Para obter as equações de Lagrange, usamos a fórmula:
Vamos calcular cada termo.
Primeiro, a derivada parcial da Lagrange em relação a :
Então, a derivada temporal disso:
Agora, a derivada parcial da Lagrange em relação a :

Passo 7

Substituindo esses resultados na equação de Lagrange:
Simplificando:
Ou, reorganizando:

Passo 8

Essa é a única equação que descreve o movimento do sistema, já que temos apenas uma coordenada . A segunda equação de Lagrange não é necessária nesse caso por causa da simetria do problema. Porém, se considerarmos pequenas oscilações angulares, poderíamos adicionar uma segunda equação para , mas para o movimento vertical puro, fica apenas uma equação.

Resposta

A equação de Lagrange para o sistema é:
Essa equação relaciona a segunda lei de Newton ao considerar as forças da mola e da gravidade agindo na massa .

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