Determine as componentes de em coordenadas polares bidimensionais. [Sugestão: lembre-se de que a variação do escalar como resultado de um deslocamento infinitesi é .]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar as componentes do gradiente de uma função nas coordenadas polares bidimensionais. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a relação entre a variação de e um deslocamento infinitesimal .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é descrita por (distância até a origem) e (ângulo com o eixo positivo ). As componentes unitárias são na direção de e na direção de .

Passo 3

Um deslocamento infinitesimal em coordenadas polares pode ser escrito como:
Aqui, é a variação na direção radial e é a variação na direção angular.

Passo 4

A variação da função devido a esse deslocamento é dada por:
Onde é o gradiente que queremos encontrar.

Passo 5

Supondo que o gradiente tenha componentes em e , podemos escrever:
Aqui, dividimos a derivada parcial em por porque a direção se expande conforme o raio aumenta.

Passo 6

Portanto, as componentes do gradiente em coordenadas polares são:

Resposta

As componentes do gradiente em coordenadas polares bidimensionais são:

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