Determine as componentes de
em coordenadas polares bidimensionais. [Sugestão: lembre-se de que a variação do escalar
como resultado de um deslocamento infinitesi
é
.]
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar as componentes do gradiente de uma função
nas coordenadas polares bidimensionais. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a relação entre a variação de
e um deslocamento infinitesimal
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é descrita por
(distância até a origem) e
(ângulo com o eixo positivo
). As componentes unitárias são
na direção de
e
na direção de
.
Passo 3
Um deslocamento infinitesimal
em coordenadas polares pode ser escrito como:
Aqui,
é a variação na direção radial e
é a variação na direção angular.
Passo 4
A variação da função
devido a esse deslocamento é dada por:
Onde
é o gradiente que queremos encontrar.
Passo 5
Supondo que o gradiente
tenha componentes em
e
, podemos escrever:
Aqui, dividimos a derivada parcial em
por
porque a direção
se expande conforme o raio aumenta.
Passo 6
Portanto, as componentes do gradiente em coordenadas polares são:
Resposta
As componentes do gradiente
em coordenadas polares bidimensionais são: