Obtenha a Lagrangiana
para duas partículas de massas iguais,
, confinadas no eixo
e conectadas por uma mola com energia potencial
. [Aqui
é a distensão da mola,
, onde
é o comprimento da mola não distendida, e assumi que a massa 1 permanece à direita da massa 2 durante todo o tempo.] Reescreva
em termos das duas novas variáveis
(a posição do CM
e
(a distensão) e obtenha as duas equaçães para
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partículas de massas iguais,
, que estão confinadas ao longo do eixo
e conectadas por uma mola. A energia potencial da mola é dada por
, onde
é a distensão da mola. Precisamos encontrar a Lagrangiana
e reescrevê-la em termos das novas variáveis
(posição do centro de massa) e
(distensão da mola). Para isso, vamos usar os conceitos de cinética e potencial na Lagrangiana.
Passo 2
A Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética total
e a energia potencial total
:
Vamos calcular primeiro a energia cinética.
Passo 3
A energia cinética de cada partícula é dada por:
Somando as duas energias cinéticas, temos a energia cinética total:
Passo 4
A energia potencial total
é fornecida pelo exercício:
onde
, sendo
o comprimento natural da mola.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da Lagrangiana:
Passo 6
Vamos reescrever
usando as novas variáveis
e
. Primeiro, expressamos
e
em termos de
e
:
Derivando em relação ao tempo, temos:
Substituindo na Lagrangiana:
Resposta
A Lagrangiana reescrita nas novas variáveis é:
As equações de movimento são: