Obtenha a Lagrangiana para duas partículas de massas iguais, , confinadas no eixo e conectadas por uma mola com energia potencial . [Aqui é a distensão da mola, , onde é o comprimento da mola não distendida, e assumi que a massa 1 permanece à direita da massa 2 durante todo o tempo.] Reescreva em termos das duas novas variáveis (a posição do CM e (a distensão) e obtenha as duas equaçães para e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partículas de massas iguais, , que estão confinadas ao longo do eixo e conectadas por uma mola. A energia potencial da mola é dada por , onde é a distensão da mola. Precisamos encontrar a Lagrangiana e reescrevê-la em termos das novas variáveis (posição do centro de massa) e (distensão da mola). Para isso, vamos usar os conceitos de cinética e potencial na Lagrangiana.

Passo 2

A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial total :
Vamos calcular primeiro a energia cinética.

Passo 3

A energia cinética de cada partícula é dada por:
Somando as duas energias cinéticas, temos a energia cinética total:

Passo 4

A energia potencial total é fornecida pelo exercício:
onde , sendo o comprimento natural da mola.

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da Lagrangiana:

Passo 6

Vamos reescrever usando as novas variáveis e . Primeiro, expressamos e em termos de e :
Derivando em relação ao tempo, temos:
Substituindo na Lagrangiana:

Resposta

A Lagrangiana reescrita nas novas variáveis é:
As equações de movimento são:

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