Consideremos o mesmo dispositivo do problema anterior; porém, dessa vez, vamos nos concentrar na coordenada da ponta do ponteiro - isto é, a ‘sombra’, ou ‘projeção’, do ponteiro na linha horizontal.
(a) Qual é a densidade de probabilidade ? Represente como função de , de até , onde é o comprimento do ponteiro. Faça com que a probabilidade total seja 1. Dica: é a probabilidade de que a projeção fique entre e . Você sabe (como vimos no Problema 1.11) a probabilidade de que esteja em dado intervalo. A pergunta é: qual intervalo corresponde ao intervalo ?

Passo 1

Então, vamos resumir o que está rolando aqui! Temos um dispositivo com um ponteiro de comprimento . Queremos focar na coordenada da ponta desse ponteiro, ou seja, na projeção dele na horizontal. Nosso objetivo é encontrar a densidade de probabilidade que descreve a probabilidade de a projeção estar entre um certo intervalo de . Para isso, vamos precisar entender como a posição está relacionada ao ângulo que o ponteiro faz com a horizontal e garantir que a probabilidade total seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar e . Imagine que o ponteiro faz um ângulo com a linha horizontal. A projeção horizontal da ponta do ponteiro é dada por:
Aqui, nos dá a fração do comprimento que está na direção horizontal.

Passo 3

Sabemos que representa a probabilidade de estar entre e . Para encontrar , precisamos relacionar isso com a probabilidade em termos de , ou seja, .
Como a distribuição de é uniforme (assumindo que o ponteiro pode apontar em qualquer direção com a mesma probabilidade), temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a relação entre e . Derivando em relação a , obtemos:
Isso significa que:
Mas como estamos interessados apenas em magnitudes, podemos considerar:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da densidade de probabilidade:

Passo 6

Sabemos que , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 7

Finalmente, precisamos garantir que a probabilidade total seja 1. Como varia de a , ajustamos os limites de integração:
Portanto, a densidade de probabilidade é:

Resposta

A densidade de probabilidade é dada por:
para no intervalo de a , garantindo que a probabilidade total seja igual a 1.

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