Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
© Qual é o valor esperado de (no instante )? (Note que você não pode obtê-lo usando . Por que não?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o valor esperado do momentum de uma partícula no instante dada pela função de onda:
á
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com mecânica quântica, especificamente com o cálculo de valores esperados usando funções de onda.
O que vamos precisar: Normalizar a função de onda e usar a definição de valor esperado para o momentum na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
A condição de normalização é:
Como é zero fora do intervalo , a integral fica:
Simplificando:
Vamos calcular essa integral para encontrar .

Passo 3

Vamos expandir :
Agora, integraremos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Então:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado do momentum .
Na mecânica quântica, o valor esperado de é dado por:
Onde:
  • é o conjugado da função de onda (como nossa função é real, ).
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é o operador momentum na posição.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Para :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 6

Observemos que a função é uma função ímpar, ou seja, .
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico , o resultado é zero.
Portanto:

Resposta

Então, o valor esperado de no instante é:
Observação: Não podemos obter usando porque, neste caso, é constante no tempo, já que a função de onda é simétrica em relação a . Portanto, sua derivada temporal é zero, o que não nos daria informações sobre .

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