Uma partícula está representada (no instante
) pela função de onda
© Qual é o valor esperado de
(no instante
)? (Note que você não pode obtê-lo usando
. Por que não?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o valor esperado do momentum
de uma partícula no instante
dada pela função de onda:
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com mecânica quântica, especificamente com o cálculo de valores esperados usando funções de onda.
O que vamos precisar: Normalizar a função de onda
e usar a definição de valor esperado para o momentum
na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
A condição de normalização é:
Como
é zero fora do intervalo
, a integral fica:
Simplificando:
Vamos calcular essa integral para encontrar
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Agora, integraremos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado do momentum
.
Na mecânica quântica, o valor esperado de
é dado por:
Onde:
-
é o conjugado da função de onda (como nossa função é real, ). -
é a constante de Planck reduzida. -
é o operador momentum na posição.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Para
:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Observemos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
.
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
, o resultado é zero.
Portanto:
Resposta
Então, o valor esperado de
no instante
é:
Observação: Não podemos obter
usando
porque, neste caso,
é constante no tempo, já que a função de onda é simétrica em relação a
. Portanto, sua derivada temporal é zero, o que não nos daria informações sobre
.