Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
(d) Encontre o valor esperado de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula descrita por uma função de onda no instante inicial :
á
O que queremos encontrar aqui é o valor esperado de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados em mecânica quântica e normalizar a função de onda para garantir que nossas probabilidades somem 1.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de de modo que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço seja igual a 1. A fórmula para normalização é:
Como é diferente de zero apenas entre e , a integral simplifica para:
Como a função é simétrica em relação a , podemos simplificar a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o termo ao quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Para somar esses termos, colocamos sobre um denominador comum, que é 15:
Então, a integral fica:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Novamente, como é nula fora de a , a integral se reduz a:
Substituindo que encontramos:
Vamos resolver a integral .

Passo 5

Primeiro, expandimos :
Multiplicando por :
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Colocando sobre um denominador comum, que é 105:
Portanto, a integral .

Passo 6

Voltando ao cálculo de :

Resposta

O valor esperado de é .

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