Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
(d) Encontre o valor esperado de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula descrita por uma função de onda no instante inicial :
O que queremos encontrar aqui é o valor esperado de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados em mecânica quântica e normalizar a função de onda para garantir que nossas probabilidades somem 1.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de de modo que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço seja igual a 1. A fórmula para normalização é:
Como é diferente de zero apenas entre e , a integral simplifica para:
Como a função é simétrica em relação a , podemos simplificar a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Primeiro, expandimos o termo ao quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Para somar esses termos, colocamos sobre um denominador comum, que é 15:
Então, a integral fica:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora que temos , vamos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Novamente, como é nula fora de a , a integral se reduz a:
Substituindo que encontramos:
Vamos resolver a integral .
Passo 5
Primeiro, expandimos :
Multiplicando por :
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Colocando sobre um denominador comum, que é 105:
Portanto, a integral .
Passo 6
Voltando ao cálculo de :
Resposta
O valor esperado de é .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 1.Outros Problemas - Ex. Problema 1.17d