O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre
.
(a) Qual é a densidade de probabilidade,
? Dica:
é a probabilidade de que o ponteiro ficará em repouso entre
e
. Represente
como função de
, de
para
. (É claro, parte do intervalo está excluída e, nele,
é zero.) Tenha certeza de que a probabilidade total é 1.
(a) Qual é a densidade de probabilidade,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o ponteiro do velocímetro de um carro que está quebrado e pode girar livremente. Quando você empurra esse ponteiro, ele pode parar em qualquer ângulo entre
e
com a mesma probabilidade. Queremos descobrir a densidade de probabilidade,
, que nos diz a chance de o ponteiro parar em um certo intervalo de ângulos, especificamente entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e funções de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa densidade de probabilidade,
. Basicamente,
representa a probabilidade de o ponteiro ficar entre o ângulo
e
. Como a probabilidade de parar em qualquer ângulo entre
e
é igual, estamos lidando com uma distribuição uniforme nesse intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos estender essa ideia para o intervalo de
a
. Observando que o ponteiro refletiria perfeitamente nas extremidades, podemos imaginar que a distribuição de probabilidade se repete a cada
radianos. Portanto, a densidade de probabilidade será constante dentro de cada intervalo de
radianos e zero fora deles.
Passo 4
Vamos definir a função
:
- Em cada intervalo onde o ponteiro pode parar com igual probabilidade,
será constante. - Fora desses intervalos,
será zero.
Como o intervalo total onde o ponteiro pode parar é de
radianos e queremos que a integral total de
seja 1 (já que a soma das probabilidades deve ser 1), a constante será
.
Passo 5
Portanto, a densidade de probabilidade
pode ser representada da seguinte maneira:
Resposta
A densidade de probabilidade
é igual a
para
entre
e
, e zero fora desse intervalo.