O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre .
(a) Qual é a densidade de probabilidade, ? Dica: é a probabilidade de que o ponteiro ficará em repouso entre e . Represente como função de , de para . (É claro, parte do intervalo está excluída e, nele, é zero.) Tenha certeza de que a probabilidade total é 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o ponteiro do velocímetro de um carro que está quebrado e pode girar livremente. Quando você empurra esse ponteiro, ele pode parar em qualquer ângulo entre e com a mesma probabilidade. Queremos descobrir a densidade de probabilidade, , que nos diz a chance de o ponteiro parar em um certo intervalo de ângulos, especificamente entre e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e funções de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa densidade de probabilidade, . Basicamente, representa a probabilidade de o ponteiro ficar entre o ângulo e . Como a probabilidade de parar em qualquer ângulo entre e é igual, estamos lidando com uma distribuição uniforme nesse intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos estender essa ideia para o intervalo de a . Observando que o ponteiro refletiria perfeitamente nas extremidades, podemos imaginar que a distribuição de probabilidade se repete a cada radianos. Portanto, a densidade de probabilidade será constante dentro de cada intervalo de radianos e zero fora deles.

Passo 4

Vamos definir a função :
  • Em cada intervalo onde o ponteiro pode parar com igual probabilidade, será constante.
  • Fora desses intervalos, será zero.
Como o intervalo total onde o ponteiro pode parar é de radianos e queremos que a integral total de seja 1 (já que a soma das probabilidades deve ser 1), a constante será .

Passo 5

Portanto, a densidade de probabilidade pode ser representada da seguinte maneira:
á

Resposta

A densidade de probabilidade é igual a para entre e , e zero fora desse intervalo.

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