A função de onda no espaço de momento (independente do tempo) em três dimensões é definida pela generalização natural da Equação 3.54:
Calcule a função de onda no espaço de momento para o estado fundamental do hidrogênio (Equação 4.80). Dica: use coordenadas esféricas, escolhendo o eixo polar na direção de p. Resolva a integral em
primeiro. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde precisamos encontrar a função de onda no espaço de momento para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. Para isso, vamos usar a transformada de Fourier que relaciona a função de onda no espaço de posição com a função de onda no espaço de momento. Precisaremos entender coordenadas esféricas e como aplicar integrais nesse tipo de coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da função de onda no espaço de momento:
Aqui,
é a função de onda no espaço de momento,
é a função de onda no espaço de posição,
é a constante de Planck reduzida, e a integral é feita sobre todo o espaço tridimensional.
Passo 3
Para o estado fundamental do hidrogênio, a função de onda no espaço de posição é dada por:
onde
é o raio de Bohr e
é a distância do elétron ao núcleo.
Passo 4
Vamos substituir
na expressão de
:
Podemos simplificar os constantes:
Passo 5
Agora, vamos trocar para coordenadas esféricas, já que a simetria do problema sugere isso. Em coordenadas esféricas,
, e podemos alinhar o eixo polar na direção de
, simplificando o produto escalar
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
A integral fica:
Podemos simplificar os termos constantes:
Passo 8
A integral interna em
é uma integral conhecida:
Substituindo:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Simplificando os constantes: