A função de onda no espaço de momento (independente do tempo) em três dimensões é definida pela generalização natural da Equação 3.54:
Calcule a função de onda no espaço de momento para o estado fundamental do hidrogênio (Equação 4.80). Dica: use coordenadas esféricas, escolhendo o eixo polar na direção de p. Resolva a integral em primeiro. Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde precisamos encontrar a função de onda no espaço de momento para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. Para isso, vamos usar a transformada de Fourier que relaciona a função de onda no espaço de posição com a função de onda no espaço de momento. Precisaremos entender coordenadas esféricas e como aplicar integrais nesse tipo de coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da função de onda no espaço de momento:
Aqui, é a função de onda no espaço de momento, é a função de onda no espaço de posição, é a constante de Planck reduzida, e a integral é feita sobre todo o espaço tridimensional.

Passo 3

Para o estado fundamental do hidrogênio, a função de onda no espaço de posição é dada por:
onde é o raio de Bohr e é a distância do elétron ao núcleo.

Passo 4

Vamos substituir na expressão de :
Podemos simplificar os constantes:

Passo 5

Agora, vamos trocar para coordenadas esféricas, já que a simetria do problema sugere isso. Em coordenadas esféricas, , e podemos alinhar o eixo polar na direção de , simplificando o produto escalar .

Passo 6

Substituindo na integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

A integral fica:
Podemos simplificar os termos constantes:

Passo 8

A integral interna em é uma integral conhecida:
Substituindo:

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Simplificando os constantes:

Resposta

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