Construa a função de onda espacial ( ) para o hidrogênio no estado e . Expresse sua resposta como função somente de e de (o raio de Bohr); nenhuma outra variável ( etc.), função ( etc.), constante ( etc.) ou derivada são permitidas ( pode, além de e 2 etc.).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado pede para construirmos a função de onda espacial, chamada de , para o átomo de hidrogênio no estado específico onde , e . Isso envolve usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar das funções radiais e angulares que compõem a função de onda, além de entender como combiná-las usando coordenadas esféricas ( ) e o raio de Bohr ( ).

Passo 2

Primeiro, a função de onda para o hidrogênio pode ser separada em duas partes: uma função radial e uma função angular . Isso é escrito como:
No nosso caso, precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos começar com a parte radial . A função radial para o estado e é dada por:
Aqui, é o raio de Bohr, que é uma constante característica do átomo de hidrogênio.

Passo 4

Agora, vamos para a parte angular . As funções angulares, chamadas de harmônicas esféricas, para e são:
Como só queremos termos reais na nossa função de onda, podemos usar a parte real dessa expressão, que é:
Para simplificar, consideramos apenas a parte que contribui fisicamente, ignorando a componente imaginária.

Passo 5

Agora, juntamos as partes radial e angular para obter a função de onda completa:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão, multiplicamos os coeficientes:
Simplificando os coeficientes numéricos:

Resposta

Portanto, a função de onda espacial para o hidrogênio no estado , e é:

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