Construa a função de onda espacial (
) para o hidrogênio no estado
e
. Expresse sua resposta como função somente de
e de
(o raio de Bohr); nenhuma outra variável (
etc.), função (
etc.), constante (
etc.) ou derivada são permitidas (
pode, além de
e 2 etc.).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado pede para construirmos a função de onda espacial, chamada de
, para o átomo de hidrogênio no estado específico onde
,
e
. Isso envolve usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar das funções radiais e angulares que compõem a função de onda, além de entender como combiná-las usando coordenadas esféricas (
) e o raio de Bohr (
).
Passo 2
Primeiro, a função de onda
para o hidrogênio pode ser separada em duas partes: uma função radial
e uma função angular
. Isso é escrito como:
No nosso caso, precisamos encontrar
.
Passo 3
Vamos começar com a parte radial
. A função radial para o estado
e
é dada por:
Aqui,
é o raio de Bohr, que é uma constante característica do átomo de hidrogênio.
Passo 4
Agora, vamos para a parte angular
. As funções angulares, chamadas de harmônicas esféricas, para
e
são:
Como só queremos termos reais na nossa função de onda, podemos usar a parte real dessa expressão, que é:
Para simplificar, consideramos apenas a parte que contribui fisicamente, ignorando a componente imaginária.
Passo 5
Agora, juntamos as partes radial e angular para obter a função de onda completa:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão, multiplicamos os coeficientes:
Simplificando os coeficientes numéricos:
Resposta
Portanto, a função de onda espacial para o hidrogênio no estado
,
e
é: