Determine o comutador de
com
. Generalize seu resultado para mostrar que
Comentário: como
não comuta com
, não podemos esperar encontrar estados que sejam simultaneamente autovetores de ambos. Para formar autoestados de
precisamos de combinaçöes lineares de autoestados de
. Isso é precisamente o que os coeficientes de Clebsch-Gordan (na Equação 4.185) fazem por nós. Por outro lado, segue-se por dedução óbvia, com base na Equação 4.187, que a soma
comuta com
, que é um caso especial de algo que já sabíamos (veja a Equação 4.103).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o comutador de
com
, onde
. Isso está dentro da matéria de mecânica quântica, mais especificamente na parte que trata de operadores de spin e seus comutadores. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como calcular comutadores de operadores e usar algumas propriedades básicas dos operadores de spin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o operador total de spin ao quadrado é dado por:
Vamos expandir esse quadrado:
Agora, queremos calcular o comutador
. Isso significa que vamos ver como esses dois operadores “não gostam” de se multiplicar na ordem inversa.
Passo 3
Vamos calcular cada parte do comutador separadamente. Primeiro, o comutador com
:
Como
envolve apenas operadores do primeiro spin, e
comuta com
(porque
é um operador escalar em relação ao spin 1), esse comutador é zero.
Passo 4
O mesmo vale para o comutador com
:
Porque os operadores do spin 1 e spin 2 agem em espaços de Hilbert diferentes e, portanto, comutam entre si.
Passo 5
Então, o único termo que resta no comutador é:
Podemos fatorar o 2:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que:
Vamos ver como cada termo comuta com
.
Passo 7
Usando as relações de comutação dos operadores de spin:
E lembrando que os operadores do spin 2 comutam com os do spin 1, vamos calcular cada termo:
Passo 8
Somando esses resultados:
Isso pode ser escrito como:
Passo 9
Observe que a expressão
é igual à componente
do produto vetorial
. Ou seja:
Portanto, a parte que estamos vendo é a componente
multiplicada por
. Mas, no contexto do comutador, isso já está incorporado.
Passo 10
Assim, substituindo de volta:
Mas, de forma geral, podemos escrever o resultado como:
Resposta
O comutador de
com
é igual a
. Portanto, de forma generalizada: