Determine o comutador de com . Generalize seu resultado para mostrar que
Comentário: como não comuta com , não podemos esperar encontrar estados que sejam simultaneamente autovetores de ambos. Para formar autoestados de precisamos de combinaçöes lineares de autoestados de . Isso é precisamente o que os coeficientes de Clebsch-Gordan (na Equação 4.185) fazem por nós. Por outro lado, segue-se por dedução óbvia, com base na Equação 4.187, que a soma comuta com , que é um caso especial de algo que já sabíamos (veja a Equação 4.103).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o comutador de com , onde . Isso está dentro da matéria de mecânica quântica, mais especificamente na parte que trata de operadores de spin e seus comutadores. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como calcular comutadores de operadores e usar algumas propriedades básicas dos operadores de spin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador total de spin ao quadrado é dado por:
Vamos expandir esse quadrado:
Agora, queremos calcular o comutador . Isso significa que vamos ver como esses dois operadores “não gostam” de se multiplicar na ordem inversa.

Passo 3

Vamos calcular cada parte do comutador separadamente. Primeiro, o comutador com :
Como envolve apenas operadores do primeiro spin, e comuta com (porque é um operador escalar em relação ao spin 1), esse comutador é zero.

Passo 4

O mesmo vale para o comutador com :
Porque os operadores do spin 1 e spin 2 agem em espaços de Hilbert diferentes e, portanto, comutam entre si.

Passo 5

Então, o único termo que resta no comutador é:
Podemos fatorar o 2:

Passo 6

Agora, precisamos calcular . Sabemos que:
Vamos ver como cada termo comuta com .

Passo 7

Usando as relações de comutação dos operadores de spin:
E lembrando que os operadores do spin 2 comutam com os do spin 1, vamos calcular cada termo:

Passo 8

Somando esses resultados:
Isso pode ser escrito como:

Passo 9

Observe que a expressão é igual à componente do produto vetorial . Ou seja:
Portanto, a parte que estamos vendo é a componente multiplicada por . Mas, no contexto do comutador, isso já está incorporado.

Passo 10

Assim, substituindo de volta:
Mas, de forma geral, podemos escrever o resultado como:

Resposta

O comutador de com é igual a . Portanto, de forma generalizada:

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