(a) Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em repouso em uma configuração em que a soma total é 3 e sua componente é . Se você medir a componente do momento angular da partícula spin 2, quais valores você deverá obter? E qual será a probabilidade de cada um?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas com spins diferentes: uma com spin 1 e outra com spin 2. Elas estão juntas de tal forma que o spin total delas é 3, e a componente z desse spin total é igual a ℏ (a constante de Planck dividida por 2π). A pergunta quer saber quais valores você pode obter ao medir a componente z do momento angular da partícula com spin 2 e qual a probabilidade de cada um desses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os valores possíveis das componentes z dos spins individuais. Para uma partícula com spin , os valores possíveis de (a componente z do spin) vão de até em incrementos de 1.
No nosso caso:
  • A partícula com spin 1 tem podendo ser -1, 0 ou +1.
  • A partícula com spin 2 tem podendo ser -2, -1, 0, +1 ou +2.

Passo 3

Sabemos que a soma das componentes z dos spins individuais deve ser igual a (como dado no problema). Ou seja:
Vamos ver quais combinações de e satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos listar as combinações possíveis:
  1. Se , então
  2. Se , então
  3. Se , então
Essas são as únicas combinações que resultam em .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a probabilidade de cada valor possível de . Para isso, usamos os coeficientes de Clebsch-Gordan, que nos dizem como os spins individuais combinam para formar o spin total.
Os coeficientes para as combinações acima são:
  1. , : coeficiente
  2. , : coeficiente
  3. , : coeficiente
Para spin total 3 a partir de spin 1 e spin 2, os coeficientes são proporções específicas. Mas de forma simplificada, cada combinação tem uma certa probabilidade baseada na magnitude desses coeficientes.

Passo 6

Calculando as probabilidades:
  • A probabilidade de é proporcional a
  • A probabilidade de é proporcional a
  • A probabilidade de é proporcional a
Após calcular, normalizamos essas probabilidades para que a soma delas seja 1.

Passo 7

Após os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra com os coeficientes de Clebsch-Gordan), encontramos que:
  • A probabilidade de é
  • A probabilidade de é
  • A probabilidade de é

Resposta

Ao medir a componente do momento angular da partícula com spin 2, os valores possíveis são , e . As probabilidades de obter cada valor são:
  • :
  • :
  • :

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