(a) Uma partícula de spin 1 e uma partícula de spin 2 estão em repouso em uma configuração em que a soma total é 3 e sua componente
é
. Se você medir a componente
do momento angular da partícula spin 2, quais valores você deverá obter? E qual será a probabilidade de cada um?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas com spins diferentes: uma com spin 1 e outra com spin 2. Elas estão juntas de tal forma que o spin total delas é 3, e a componente z desse spin total é igual a ℏ (a constante de Planck dividida por 2π). A pergunta quer saber quais valores você pode obter ao medir a componente z do momento angular da partícula com spin 2 e qual a probabilidade de cada um desses valores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os valores possíveis das componentes z dos spins individuais. Para uma partícula com spin
, os valores possíveis de
(a componente z do spin) vão de
até
em incrementos de 1.
No nosso caso:
- A partícula com spin 1 tem
podendo ser -1, 0 ou +1. - A partícula com spin 2 tem
podendo ser -2, -1, 0, +1 ou +2.
Passo 3
Sabemos que a soma das componentes z dos spins individuais deve ser igual a
(como dado no problema). Ou seja:
Vamos ver quais combinações de
e
satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos listar as combinações possíveis:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Essas são as únicas combinações que resultam em
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a probabilidade de cada valor possível de
. Para isso, usamos os coeficientes de Clebsch-Gordan, que nos dizem como os spins individuais combinam para formar o spin total.
Os coeficientes para as combinações acima são:
-
, : coeficiente -
, : coeficiente -
, : coeficiente
Para spin total 3 a partir de spin 1 e spin 2, os coeficientes são proporções específicas. Mas de forma simplificada, cada combinação tem uma certa probabilidade baseada na magnitude desses coeficientes.
Passo 6
Calculando as probabilidades:
- A probabilidade de
é proporcional a - A probabilidade de
é proporcional a - A probabilidade de
é proporcional a
Após calcular, normalizamos essas probabilidades para que a soma delas seja 1.
Passo 7
Após os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra com os coeficientes de Clebsch-Gordan), encontramos que:
- A probabilidade de
é - A probabilidade de
é - A probabilidade de
é
Resposta
Ao medir a componente
do momento angular da partícula com spin 2, os valores possíveis são
,
e
. As probabilidades de obter cada valor são:
-
: -
: -
: