Um cubo liso de massa
e face de comprimento
desliza com velocidade
em uma superficie horizontal com atrito desprezível. O cubo, então, se move para cima em uma rampa que faz ângulo
com a horizontal. Um cilindro de massa
e raio
rola sem escorregar com seu centro de massa, movendo-se com velocidade
, e chega a uma rampa com o mesmo ângulo de inclinação, mas sem atrito suficiente para que continue a rolar sem escorregar. (b) Encontre a diferença entre as distâncias máximas que os corpos percorrem para cima na rampa.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos dois corpos: um cubo e um cilindro, ambos com massa
e tamanho característico
. O cubo desliza sem atrito numa superfície horizontal e depois sobe uma rampa inclinada com ângulo
. O cilindro, por outro lado, rola sem escorregar até chegar na mesma rampa, mas nessa rampa não tem atrito suficiente para manter a rolagem sem escorregar. Nosso objetivo é encontrar a diferença entre as distâncias máximas que cada um percorre subindo essa rampa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética e potencial, além de entender como a rotação afeta a energia do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o cubo. Como ele desliza sem atrito, toda a energia cinética inicial que ele tem vai ser convertida em energia potencial quando ele para de subir a rampa. A energia cinética do cubo é dada por:
Quando ele sobe a rampa, essa energia se transforma em energia potencial gravitacional:
Aqui,
é a altura que o cubo alcança na rampa. Como a rampa faz um ângulo
, podemos relacionar a altura
com a distância
percorrida na rampa usando trigonometria:
Passo 3
Igualando a energia cinética inicial à energia potencial final para o cubo:
Podemos cancelar a massa
dos dois lados da equação:
Agora, isolamos
para encontrar a distância máxima que o cubo percorre:
Passo 4
Agora vamos analisar o cilindro. Diferente do cubo, o cilindro está rolando sem escorregar inicialmente, o que significa que parte da energia cinética está na forma de energia de rotação. A energia cinética total do cilindro é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia
é:
E como ele está rolando sem escorregar, a velocidade angular
está relacionada com a velocidade linear
por:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da energia cinética do cilindro:
Simplificando:
Passo 6
Assim como no caso do cubo, quando o cilindro sobe a rampa, toda essa energia cinética será convertida em energia potencial:
Cancelando a massa
:
Isolando
:
Passo 7
Agora, queremos encontrar a diferença entre as distâncias máximas que o cubo e o cilindro percorrem na rampa:
Substituindo as expressões que encontramos:
Para facilitar a subtração, vamos ter um denominador comum:
Como a diferença está saindo negativa, interpretamos que o cilindro percorre uma distância menor que o cubo.
Resposta
A diferença entre as distâncias máximas que os corpos percorrem para cima na rampa é: