O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:

em que e são constantes ( é real e positivo).
(e) O princípio da incerteza se mantém válido? A que tempo o sistema chega próximo do limite da incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda inicial de uma partícula livre, que é uma onda gaussiana:
Aqui, e são constantes, sendo real e positivo. A questão pede para a gente verificar se o princípio da incerteza de Heisenberg continua válido nesse sistema e determinar em que tempo o sistema chega perto do limite de incerteza. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o princípio da incerteza e como calcular as incertezas de posição ( ) e momento ( ) para a função de onda dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da incerteza. Ele diz que não dá pra saber exatamente ao mesmo tempo a posição e o momento de uma partícula. Matematicamente, é expresso por:
Aqui, é a incerteza na posição, é a incerteza no momento, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos calcular e para a função de onda dada. Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor de .
A condição de normalização é:
Substituindo :
Sabemos que:
Então, aplicando isso:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular . A variância é dada por:
Como a função é simétrica em torno de , . Então:
Calculando :
Usando a fórmula:
Aplicando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos para . A variância do momento é:
Como a função é simétrica e real, . Então:
Para uma onda gaussiana, sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos verificar o princípio da incerteza:
Vemos que a igualdade é satisfeita, então o princípio da incerteza se mantém válido nesse sistema.

Passo 7

Por fim, queremos saber em que tempo o sistema chega próximo ao limite da incerteza. No caso de uma partícula livre, a onda gaussiana se propaga mantendo a forma, mas a incerteza no momento permanece constante. Portanto, o limite da incerteza já está atingido no tempo inicial e se mantém para qualquer tempo futuro.

Resposta

Sim, o princípio da incerteza de Heisenberg se mantém válido para esse sistema, e o sistema já está próximo do limite da incerteza desde o tempo inicial .

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