O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:
em que
e
são constantes (
é real e positivo).
(e) O princípio da incerteza se mantém válido? A que tempo
o sistema chega próximo do limite da incerteza?
(e) O princípio da incerteza se mantém válido? A que tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda inicial de uma partícula livre, que é uma onda gaussiana:
Aqui,
e
são constantes, sendo
real e positivo. A questão pede para a gente verificar se o princípio da incerteza de Heisenberg continua válido nesse sistema e determinar em que tempo
o sistema chega perto do limite de incerteza. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o princípio da incerteza e como calcular as incertezas de posição (
) e momento (
) para a função de onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da incerteza. Ele diz que não dá pra saber exatamente ao mesmo tempo a posição e o momento de uma partícula. Matematicamente, é expresso por:
Aqui,
é a incerteza na posição,
é a incerteza no momento, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
para a função de onda dada. Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor de
.
A condição de normalização é:
Substituindo
:
Sabemos que:
Então, aplicando isso:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular
. A variância
é dada por:
Como a função é simétrica em torno de
,
. Então:
Calculando
:
Usando a fórmula:
Aplicando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para
. A variância do momento é:
Como a função é simétrica e real,
. Então:
Para uma onda gaussiana, sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos verificar o princípio da incerteza:
Vemos que a igualdade é satisfeita, então o princípio da incerteza se mantém válido nesse sistema.
Passo 7
Por fim, queremos saber em que tempo
o sistema chega próximo ao limite da incerteza. No caso de uma partícula livre, a onda gaussiana se propaga mantendo a forma, mas a incerteza no momento permanece constante. Portanto, o limite da incerteza já está atingido no tempo inicial
e se mantém para qualquer tempo futuro.
Resposta
Sim, o princípio da incerteza de Heisenberg se mantém válido para esse sistema, e o sistema já está próximo do limite da incerteza desde o tempo inicial
.