Calcule
e
para o
-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico utilizando o método do Exemplo 2.5. Confira se o princípio da incerteza é satisfeito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular alguns valores esperados (
,
,
,
) e a energia cinética média (
) para o n-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico. Depois, vamos ver se o princípio da incerteza de Heisenberg é respeitado. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como operadores, funções de onda e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é o valor médio da posição. No caso do oscilador harmônico, as funções de onda para os estados estacionários têm simetria par ou ímpar. Isso significa que, para qualquer n, a expectativa de
é zero. Matemáticamente:
Passo 3
Agora, vamos para
, o valor médio do momento. Assim como a posição, o momento também tem simetria que faz com que a expectativa seja zero:
Passo 4
Vamos calcular
, que é o valor esperado do quadrado da posição. Para o n-ésimo estado do oscilador harmônico, usamos a fórmula:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a frequência angular do oscilador.
Passo 5
Agora, vamos para
, o valor esperado do quadrado do momento. A fórmula é similar à de
:
Passo 6
Vamos calcular a energia cinética média
. A energia cinética é dada por:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 7
Agora, vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
Primeiro, calculamos as incertezas
e
:
Multiplicando as duas:
Como
para todo
, o princípio da incerteza é satisfeito.
Resposta
E o princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito.