Calcule e para o -ésimo estado estacionário do oscilador harmônico utilizando o método do Exemplo 2.5. Confira se o princípio da incerteza é satisfeito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular alguns valores esperados ( , , , ) e a energia cinética média ( ) para o n-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico. Depois, vamos ver se o princípio da incerteza de Heisenberg é respeitado. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como operadores, funções de onda e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é o valor médio da posição. No caso do oscilador harmônico, as funções de onda para os estados estacionários têm simetria par ou ímpar. Isso significa que, para qualquer n, a expectativa de é zero. Matemáticamente:

Passo 3

Agora, vamos para , o valor médio do momento. Assim como a posição, o momento também tem simetria que faz com que a expectativa seja zero:

Passo 4

Vamos calcular , que é o valor esperado do quadrado da posição. Para o n-ésimo estado do oscilador harmônico, usamos a fórmula:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a frequência angular do oscilador.

Passo 5

Agora, vamos para , o valor esperado do quadrado do momento. A fórmula é similar à de :

Passo 6

Vamos calcular a energia cinética média . A energia cinética é dada por:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 7

Agora, vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que diz que:
Primeiro, calculamos as incertezas e :
Multiplicando as duas:
Como para todo , o princípio da incerteza é satisfeito.

Resposta

E o princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito.

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