Uma partícula no potencial do oscilador harmônico está no estado
Calcule e . Não se empolgue muito se eles oscilarem na frequência clássica; o que poderia ter acontecido se eu tivesse especificado em vez de ? Verifique o que o teorema de Ehrenfest (Equação 1.38) guarda para essa função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula num potencial de oscilador harmônico, e a função de onda inicial dela é dada por:
Aqui, e são os estados estacionários (ou funções próprias) do oscilador harmônico para os níveis de energia 0 e 1, respectivamente. Nosso objetivo é calcular os valores esperados de posição e momento . Além disso, vamos verificar o que o teorema de Ehrenfest nos diz sobre essa função de onda.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar que os estados são ortonormais e que os operadores de posição e momento têm matrizes conhecidas nesses estados estacionários. Também vamos usar o teorema de Ehrenfest, que relaciona as expectativas de posição e momento com as leis de movimento clássicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a constante de normalização . A função de onda precisa estar normalizada, ou seja:
Substituindo :
Expandindo o quadrado:
Como e são ortonormais:
Então:

Passo 3

Agora que temos , a função de onda normalizada é:
Vamos calcular e usando:
Onde .

Passo 4

Vamos começar com . Substituindo :
Expandindo:
Sabemos que e são ortonormais e que:
E para os osciladores harmônicos,
Mas na verdade, para os osciladores harmônicos, a posição apenas conecta estados com e , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Usando:
Ao expandir, notamos que operadores ímpares como conectam estados com diferentes de . No entanto, para funções reais como , acaba sendo zero devido à simetria.
Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos discutir o que teria acontecido se tivéssemos especificado em vez de . Nesse caso, ao calcular , as integrais envolvendo e também seriam zero devido à ortogonalidade e simetria dos estados. Assim, seria zero, indicando que a partícula não teria um deslocamento médio de posição.
Quanto ao teorema de Ehrenfest, que afirma que:
No nosso caso, com e constante, verifica-se que as equações de Ehrenfest são satisfeitas, confirmando que o comportamento esperado de e está de acordo com a teoria clássica para esse estado específico.

Resposta

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