Uma partícula no potencial do oscilador harmônico está no estado
Calcule
e
. Não se empolgue muito se eles oscilarem na frequência clássica; o que poderia ter acontecido se eu tivesse especificado
em vez de
? Verifique o que o teorema de Ehrenfest (Equação 1.38) guarda para essa função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula num potencial de oscilador harmônico, e a função de onda inicial dela é dada por:
Aqui,
e
são os estados estacionários (ou funções próprias) do oscilador harmônico para os níveis de energia 0 e 1, respectivamente. Nosso objetivo é calcular os valores esperados de posição
e momento
. Além disso, vamos verificar o que o teorema de Ehrenfest nos diz sobre essa função de onda.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar que os estados
são ortonormais e que os operadores de posição e momento têm matrizes conhecidas nesses estados estacionários. Também vamos usar o teorema de Ehrenfest, que relaciona as expectativas de posição e momento com as leis de movimento clássicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a constante de normalização
. A função de onda precisa estar normalizada, ou seja:
Substituindo
:
Expandindo o quadrado:
Como
e
são ortonormais:
Então:
Passo 3
Agora que temos
, a função de onda normalizada é:
Vamos calcular
e
usando:
Onde
.
Passo 4
Vamos começar com
. Substituindo
:
Expandindo:
Sabemos que
e
são ortonormais e que:
E para os osciladores harmônicos,
Mas na verdade, para os osciladores harmônicos, a posição
apenas conecta estados com
e
, então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Usando:
Ao expandir, notamos que operadores ímpares como
conectam estados com
diferentes de
. No entanto, para funções reais como
,
acaba sendo zero devido à simetria.
Portanto:
Passo 6
Finalmente, vamos discutir o que teria acontecido se tivéssemos especificado
em vez de
. Nesse caso, ao calcular
, as integrais envolvendo
e
também seriam zero devido à ortogonalidade e simetria dos estados. Assim,
seria zero, indicando que a partícula não teria um deslocamento médio de posição.
Quanto ao teorema de Ehrenfest, que afirma que:
No nosso caso, com
e
constante, verifica-se que as equações de Ehrenfest são satisfeitas, confirmando que o comportamento esperado de
e
está de acordo com a teoria clássica para esse estado específico.