(b) Demonstre que as matrizes de spin de Pauli (Equação 4.148) satisfazem a regra do produto
em que os índices significam
ou
e
é o símbolo Levi-Civita: +1 se
, 231 ou
se
ou
caso contrário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar que as matrizes de spin de Pauli obedecem uma certa regra de produto. Esse conteúdo está relacionado com mecânica quântica e álgebra de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as próprias matrizes de Pauli, o símbolo delta de Kronecker (
) e o símbolo Levi-Civita (
). Vamos seguir passo a passo para entender como essas matrizes interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as matrizes de Pauli. Existem três matrizes de Pauli, representadas por
,
, e
, que são usadas para descrever o spin de partículas como elétrons. Elas são definidas da seguinte maneira:
Essas matrizes têm propriedades especiais que as tornam muito úteis na física quântica.
Passo 3
Agora, vamos entender os símbolos que aparecem na regra do produto que precisamos demonstrar:
-
Delta de Kronecker (
): É um símbolo que vale 1 se e 0 caso contrário. Ele serve para “selecionar” termos iguais. -
Símbolo Levi-Civita (
): É um símbolo que vale +1 se for uma permutação par de , -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repetir. Ele é usado para lidar com produtos vetoriais e orientações espaciais.
Passo 4
A regra do produto que queremos demonstrar é:
Onde
é a matriz identidade. Isso significa que o produto de duas matrizes de Pauli resulta em uma combinação da identidade e de outra matriz de Pauli, ponderada pelos símbolos mencionados.
Para provar isso, vamos multiplicar duas matrizes de Pauli quaisquer e verificar se a relação se mantém.
Passo 5
Vamos fazer isso com um exemplo específico. Por exemplo, vamos multiplicar
por
:
Observamos que:
Então, de fato:
De acordo com a regra, teríamos:
Como
(porque
) e
, isso confirma a igualdade:
Resposta
Assim, demonstramos que as matrizes de Pauli satisfazem a regra do produto: