(b) Um elétron com o spin para baixo está no estado do átomo de hidrogênio. Se você pudesse medir somente o quadrado do momento angular total do elétron (não incluindo o spin do próton), quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um elétron com spin para baixo no estado do átomo de hidrogênio. O que isso significa? Basicamente, precisamos descobrir quais valores podemos obter ao medir o quadrado do momento angular total do elétron, sem considerar o spin do próton. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre momentos angulares no átomo e como eles se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total do elétron ( ) é a soma do momento angular orbital ( ) e do momento angular de spin ( ):
No átomo de hidrogênio, o número quântico principal nos diz sobre a energia do elétron, e o número quântico azimutal indica que o momento angular orbital tem um valor associado.

Passo 3

Sabemos que o spin do elétron . Quando combinamos com , os possíveis valores para o momento angular total são:
Então, para e , temos:
Portanto, os valores possíveis para são e .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre as probabilidades. Cada valor de tem uma certa quantidade de estados possíveis, dado por . Assim:
  • Para , temos estados.
  • Para , temos estados.
No total, temos estados possíveis.

Passo 5

Como o elétron está com o spin para baixo ( ), vamos ver quantos desses estados correspondem a essa condição:
  • Para , os possíveis valores de (a componente z de ) são , , e . Apenas um desses ( ) corresponde ao spin para baixo.
  • Para , os possíveis valores de são e . Aqui, também apenas um corresponde ao spin para baixo.
Então, temos:
  • 1 estado de com spin para baixo.
  • 1 estado de com spin para baixo.

Passo 6

Agora, calculamos as probabilidades dividindo o número de estados favoráveis pelo total:
  • Probabilidade para :
  • Probabilidade para :
Mas, percebemos que houve um erro aqui. Na verdade, o número de estados com spin para baixo é 2 (um para cada valor de ). Portanto, a probabilidade correta é:
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os possíveis valores para o quadrado do momento angular total do elétron são e , com probabilidades de e , respectivamente.

Exercícios de Livros Relacionados