(b) Um elétron com o spin para baixo está no estado
do átomo de hidrogênio. Se você pudesse medir somente o quadrado do momento angular total do elétron (não incluindo o spin do próton), quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um elétron com spin para baixo no estado
do átomo de hidrogênio. O que isso significa? Basicamente, precisamos descobrir quais valores podemos obter ao medir o quadrado do momento angular total do elétron, sem considerar o spin do próton. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre momentos angulares no átomo e como eles se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular total do elétron (
) é a soma do momento angular orbital (
) e do momento angular de spin (
):
No átomo de hidrogênio, o número quântico principal
nos diz sobre a energia do elétron, e o número quântico azimutal
indica que o momento angular orbital
tem um valor associado.
Passo 3
Sabemos que o spin do elétron
. Quando combinamos
com
, os possíveis valores para o momento angular total
são:
Então, para
e
, temos:
Portanto, os valores possíveis para
são
e
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as probabilidades. Cada valor de
tem uma certa quantidade de estados possíveis, dado por
. Assim:
- Para
, temos estados. - Para
, temos estados.
No total, temos
estados possíveis.
Passo 5
Como o elétron está com o spin para baixo (
), vamos ver quantos desses estados correspondem a essa condição:
- Para
, os possíveis valores de (a componente z de ) são , , e . Apenas um desses ( ) corresponde ao spin para baixo. - Para
, os possíveis valores de são e . Aqui, também apenas um corresponde ao spin para baixo.
Então, temos:
- 1 estado de
com spin para baixo. - 1 estado de
com spin para baixo.
Passo 6
Agora, calculamos as probabilidades dividindo o número de estados favoráveis pelo total:
- Probabilidade para
:
- Probabilidade para
:
Mas, percebemos que houve um erro aqui. Na verdade, o número de estados com spin para baixo é 2 (um para cada valor de
). Portanto, a probabilidade correta é:
- Para
: - Para
:
Resposta
Os possíveis valores para o quadrado do momento angular total do elétron são
e
, com probabilidades de
e
, respectivamente.