Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com ou . (Esse é um caso especial do teorema geral no Problema 2.2, mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que não existe solução aceitável para a equação de Schrödinger independente do tempo no caso do poço quadrado infinito quando a energia é igual a zero ou menor que zero. Vamos precisar entender a equação de Schrödinger para esse potencial e aplicar as condições de contorno para ver se conseguimos encontrar alguma função que funcione. Se não conseguir, isso prova que não há solução aceitável nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial . Ela é dada por:
No caso do poço quadrado infinito, o potencial é definido como:
á
Isso significa que a partícula está confinada no intervalo e não pode existir fora desse intervalo.

Passo 3

Vamos considerar primeiro o caso em que a energia .
Dentro do poço ( ), a equação de Schrödinger simplifica para:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
A solução geral dessa equação é uma função linear:
onde e são constantes que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno para o poço quadrado infinito são que a função de onda deve ser zero nas bordas do poço, ou seja:
Vamos aplicar essas condições à solução :
  1. Em :
Então, .
  1. Em :
Isso implica que .
Portanto, a única solução possível é , que não é uma função de onda aceitável porque não representa uma partícula presente no poço.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso em que a energia . Nesse caso, a equação de Schrödinger dentro do poço se torna:
Como , podemos reescrever como , então a equação fica:
Vamos chamar , então a equação é:
A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Aplicando as condições de contorno e :
  1. Em :
  1. Em :
Substituindo :
Fatorando :
Isso implica que , o que leva novamente a . Assim, a única solução é , que não é aceitável.

Resposta

Não existem soluções aceitáveis para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando ou , pois a única função resultante é a trivial , que não representa uma partícula válida no poço.

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