Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com
ou
. (Esse é um caso especial do teorema geral no Problema 2.2, mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que não existe solução aceitável para a equação de Schrödinger independente do tempo no caso do poço quadrado infinito quando a energia
é igual a zero ou menor que zero. Vamos precisar entender a equação de Schrödinger para esse potencial e aplicar as condições de contorno para ver se conseguimos encontrar alguma função que funcione. Se não conseguir, isso prova que não há solução aceitável nesses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial
. Ela é dada por:
No caso do poço quadrado infinito, o potencial
é definido como:
Isso significa que a partícula está confinada no intervalo
e não pode existir fora desse intervalo.
Passo 3
Vamos considerar primeiro o caso em que a energia
.
Dentro do poço (
), a equação de Schrödinger simplifica para:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
A solução geral dessa equação é uma função linear:
onde
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
As condições de contorno para o poço quadrado infinito são que a função de onda
deve ser zero nas bordas do poço, ou seja:
Vamos aplicar essas condições à solução
:
- Em
:
Então,
.
- Em
:
Isso implica que
.
Portanto, a única solução possível é
, que não é uma função de onda aceitável porque não representa uma partícula presente no poço.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso em que a energia
. Nesse caso, a equação de Schrödinger dentro do poço se torna:
Como
, podemos reescrever
como
, então a equação fica:
Vamos chamar
, então a equação é:
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Aplicando as condições de contorno
e
:
- Em
:
- Em
:
Substituindo
:
Fatorando
:
Isso implica que
, o que leva novamente a
. Assim, a única solução é
, que não é aceitável.
Resposta
Não existem soluções aceitáveis para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando
ou
, pois a única função resultante é a trivial
, que não representa uma partícula válida no poço.