Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
© Calcule
. Note que oscila com o tempo. Qual é a frequência angular da oscilação? Qual é a amplitude da oscilação? (Se sua amplitude for maior do que
, vá direto para o fim.)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções de onda em um poço quadrado infinito. A questão nos pede para calcular o valor esperado de
, ou seja,
, que oscila com o tempo. Além disso, precisamos determinar a frequência angular dessa oscilação e sua amplitude. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos estados estacionários e aos valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda inicial é uma superposição equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Aqui,
é uma constante de normalização, e
e
são as funções de onda dos estados fundamental e primeiro excitado, respectivamente.
Passo 3
Para calcular
, usamos a fórmula do valor esperado:
Onde
é o comprimento do poço, e
é o conjugado complexo da função de onda.
Passo 4
Vamos expressar a função de onda no tempo
. Como os estados são estacionários, cada um evolui no tempo com um fator exponencial:
Aqui,
e
são as energias dos estados 1 e 2, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 5
Ao calcular
, notamos que haverá termos cruzados envolvendo
e
. Esses termos resultam em uma oscilação no tempo devido à diferença de energia entre os dois estados:
Os termos
e
são constantes no tempo, enquanto os outros dois termos oscilam com frequência angular
.
Passo 6
A frequência angular da oscilação é então:
Para o poço quadrado infinito, as energias dos estados são dadas por:
Substituindo
e
:
Portanto:
Passo 7
A amplitude da oscilação está relacionada aos elementos cruzados
. Para o poço simétrico, esses elementos resultam em:
Após calcular a integral, encontramos que a amplitude não excede
, então podemos prosseguir com a conclusão.
Resposta
A frequência angular da oscilação é
e a amplitude da oscilação é
.