Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
© Calcule . Note que oscila com o tempo. Qual é a frequência angular da oscilação? Qual é a amplitude da oscilação? (Se sua amplitude for maior do que , vá direto para o fim.)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções de onda em um poço quadrado infinito. A questão nos pede para calcular o valor esperado de , ou seja, , que oscila com o tempo. Além disso, precisamos determinar a frequência angular dessa oscilação e sua amplitude. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos estados estacionários e aos valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda inicial é uma superposição equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Aqui, é uma constante de normalização, e e são as funções de onda dos estados fundamental e primeiro excitado, respectivamente.

Passo 3

Para calcular , usamos a fórmula do valor esperado:
Onde é o comprimento do poço, e é o conjugado complexo da função de onda.

Passo 4

Vamos expressar a função de onda no tempo . Como os estados são estacionários, cada um evolui no tempo com um fator exponencial:
Aqui, e são as energias dos estados 1 e 2, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 5

Ao calcular , notamos que haverá termos cruzados envolvendo e . Esses termos resultam em uma oscilação no tempo devido à diferença de energia entre os dois estados:
Os termos e são constantes no tempo, enquanto os outros dois termos oscilam com frequência angular .

Passo 6

A frequência angular da oscilação é então:
Para o poço quadrado infinito, as energias dos estados são dadas por:
Substituindo e :
Portanto:

Passo 7

A amplitude da oscilação está relacionada aos elementos cruzados . Para o poço simétrico, esses elementos resultam em:
Após calcular a integral, encontramos que a amplitude não excede , então podemos prosseguir com a conclusão.

Resposta

A frequência angular da oscilação é e a amplitude da oscilação é .

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