Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(e) Se você medisse a energia dessa partícula, que valores obteria e qual a probabilidade de obter cada um deles? Calcule o valor esperado de . Qual a diferença entre esse valor e os de e ?
Passo 1
Então, o que a questão está pedindo? Temos uma partícula confinada em um poço de potencial infinito, que é um tema de Mecânica Quântica. A função de onda inicial dessa partícula é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários do poço. Precisamos descobrir quais valores de energia podemos medir para essa partícula, a probabilidade de cada um desses valores ocorrer, calcular o valor esperado da energia () e comparar esse valor com as energias dos estados individuais e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estados quantizados, probabilidade de medir certos valores de energia e o cálculo do valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço quadrado infinito, os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger que têm energias bem definidas, chamadas de , onde indica o nível de energia. Esses estados são mutuamente ortogonais e formam uma base para quaisquer funções de onda no poço.
A função de onda inicial dada é:
Aqui, e são os primeiros dois estados estacionários, e é uma constante de normalização que garante que a função de onda total tenha probabilidade total igual a 1.
Passo 3
Vamos encontrar a constante de normalização . Sabemos que:
Substituindo :
Expandindo o quadrado:
Como os estados são ortonormais:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos a função de onda normalizada:
Quando medimos a energia dessa partícula, os únicos valores possíveis são os valores de energia dos estados que compõem a função de onda, ou seja, e .
Passo 5
A probabilidade de medir cada valor de energia é dada pelo quadrado do coeficiente de cada estado na função de onda. Aqui, os coeficientes são para ambos e .
Então, a probabilidade de medir é:
E a probabilidade de medir é:
Passo 6
Para calcular o valor esperado da energia , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos analisar a diferença entre e os valores individuais e .
O valor esperado é a média aritmética das energias e . Isso significa que está exatamente no meio entre e :
Portanto, a diferença entre e é , e a diferença entre e também é .
Resposta
Ao medir a energia da partícula, obteríamos e com probabilidades iguais de cada. O valor esperado da energia é , que está exatamente no meio entre e .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 2.2 - Ex. Problema 2.5e