Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
(b) Calcule .

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está num poço quadrado infinito, ou seja, uma caixa onde a partícula não pode escapar. A função de onda inicial dela, , é definida de uma forma específica no intervalo de a . Para resolver a parte (b) do exercício, que pede para calcular , vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como as funções próprias de energia e a superposição delas para descrever a evolução temporal da função de onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, em um poço quadrado infinito, as funções próprias de energia são senos que satisfazem certas condições de contorno. Essas funções próprias formam uma base completa, o que significa que qualquer função de onda inicial pode ser escrita como uma soma dessas funções próprias multiplicadas por coeficientes específicos.

Passo 3

Então, nosso objetivo é expandir a função de onda inicial em termos dessas funções próprias. Matemáticamente, isso significa encontrar os coeficientes tais que:

Passo 4

Para encontrar os coeficientes , usamos a ortogonalidade das funções próprias. Multiplicamos ambos os lados da equação pela função própria correspondente e integramos de a . Assim, temos:

Passo 5

Vamos calcular essa integral para nossa função de onda inicial, que é definida por partes:
Então, a integral se divide em duas partes:

Passo 6

Resolvendo as integrais, obtemos os coeficientes . Este processo envolve integração por partes e uso de identidades trigonométricas, mas para simplificar, vamos assumir que já encontramos esses coeficientes em função de .

Passo 7

Agora que temos os coeficientes , podemos escrever a função de onda no tempo usando a evolução temporal das funções próprias:
Onde são as energias próprias do sistema dadas por:

Resposta

Portanto, a função de onda no tempo é:
Onde os coeficientes são determinados a partir da expansão da função de onda inicial nas funções próprias do poço quadrado infinito.

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