Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
(b) Calcule
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está num poço quadrado infinito, ou seja, uma caixa onde a partícula não pode escapar. A função de onda inicial dela,
, é definida de uma forma específica no intervalo de
a
. Para resolver a parte (b) do exercício, que pede para calcular
, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como as funções próprias de energia e a superposição delas para descrever a evolução temporal da função de onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, em um poço quadrado infinito, as funções próprias de energia são senos que satisfazem certas condições de contorno. Essas funções próprias formam uma base completa, o que significa que qualquer função de onda inicial pode ser escrita como uma soma dessas funções próprias multiplicadas por coeficientes específicos.
Passo 3
Então, nosso objetivo é expandir a função de onda inicial
em termos dessas funções próprias. Matemáticamente, isso significa encontrar os coeficientes
tais que:
Passo 4
Para encontrar os coeficientes
, usamos a ortogonalidade das funções próprias. Multiplicamos ambos os lados da equação pela função própria correspondente e integramos de
a
. Assim, temos:
Passo 5
Vamos calcular essa integral para nossa função de onda inicial, que é definida por partes:
Então, a integral se divide em duas partes:
Passo 6
Resolvendo as integrais, obtemos os coeficientes
. Este processo envolve integração por partes e uso de identidades trigonométricas, mas para simplificar, vamos assumir que já encontramos esses coeficientes em função de
.
Passo 7
Agora que temos os coeficientes
, podemos escrever a função de onda no tempo
usando a evolução temporal das funções próprias:
Onde
são as energias próprias do sistema dadas por:
Resposta
Portanto, a função de onda no tempo
é:
Onde os coeficientes
são determinados a partir da expansão da função de onda inicial
nas funções próprias do poço quadrado infinito.