Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente as matrizes de Pauli (
), e como calcular exponenciais de matrizes. Vamos precisar lembrar de algumas propriedades das matrizes de Pauli e de como expandir uma exponencial em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um vetor unitário e
representa as três matrizes de Pauli. Quando a gente faz o produto
, isso significa que estamos combinando as matrizes de Pauli com os componentes do vetor
. Uma propriedade importante aqui é que
, onde
é a matriz identidade. Isso acontece porque as matrizes de Pauli obedecem
, e para um vetor unitário, os termos cruzados cancelam.
Passo 3
Agora, vamos expandir a exponencial
usando a série de Taylor. A série de uma exponencial de matriz fica assim:
Onde
.
Passo 4
Substituindo
na série, temos:
Lembrando que
, podemos simplificar os termos da série. Observa que termos de potências pares de
vão gerar o identidade e termos ímpares vão manter
.
Passo 5
Agrupando os termos pares e ímpares, a série fica:
Reconhecendo as séries de cosseno e seno, temos:
Resposta
Portanto,