Demonstre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente as matrizes de Pauli ( ), e como calcular exponenciais de matrizes. Vamos precisar lembrar de algumas propriedades das matrizes de Pauli e de como expandir uma exponencial em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um vetor unitário e representa as três matrizes de Pauli. Quando a gente faz o produto , isso significa que estamos combinando as matrizes de Pauli com os componentes do vetor . Uma propriedade importante aqui é que , onde é a matriz identidade. Isso acontece porque as matrizes de Pauli obedecem , e para um vetor unitário, os termos cruzados cancelam.

Passo 3

Agora, vamos expandir a exponencial usando a série de Taylor. A série de uma exponencial de matriz fica assim:
Onde .

Passo 4

Substituindo na série, temos:
Lembrando que , podemos simplificar os termos da série. Observa que termos de potências pares de vão gerar o identidade e termos ímpares vão manter .

Passo 5

Agrupando os termos pares e ímpares, a série fica:
Reconhecendo as séries de cosseno e seno, temos:

Resposta

Portanto,

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