[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Demonstre que J satisfaz a equação de continuidade
a qual expressa conservação de probabilidade local. Segue-se (do teorema de divergência) que
em que
é um volume (fixo), e
, o contorno superficial. Em outras palavras: o fluxo de probabilidade através da superfície é igual à diminuição da probabilidade de se encontrar a partícula no volume.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver aqui. O exercício trata da corrente de probabilidade tridimensional na mecânica quântica e nos pede para mostrar que ela satisfaz a equação de continuidade, que basicamente garante a conservação da probabilidade local. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência, além de entender um pouco sobre funções de onda e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a corrente de probabilidade
que foi definida no enunciado:
Aqui,
é a função de onda da partícula,
é o seu complexo conjugado,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
representa o operador nabla, relacionado ao gradiente.
Passo 3
A equação de continuidade que precisamos demonstrar é:
Essa equação basicamente diz que a divergência da corrente de probabilidade é igual à taxa de variação negativa da densidade de probabilidade
. Isso garante que a probabilidade total seja conservada ao longo do tempo.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um vetor
é dada por:
Mas, em vez de calcular componente por componente, podemos usar propriedades diferenciais para simplificar o cálculo.
Passo 5
Substituindo
na expressão da divergência:
Como
é uma constante, podemos trazê-la para fora da divergência:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a regra do produto para a divergência, que diz que:
Aplicando isso aos termos
e
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da divergência:
Observe que os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 8
Agora, vamos conectar isso com a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
E a sua equação complementar (ou a equação para
) é:
Passo 9
Vamos manipular essas equações para relacionar
e
:
De
:
De
:
Passo 10
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 11
Simplificando os termos:
Os termos envolvendo o potencial
se cancelam:
Simplificando as constantes:
Note que
:
Isso simplifica para:
Passo 12
Agora, vamos lembrar que a densidade de probabilidade é
. Vamos calcular a derivada temporal dessa densidade:
Passo 13
Comparando com a expressão que obtivemos para
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
Portanto, demonstramos que a corrente de probabilidade
satisfaz a equação de continuidade:
Isso confirma a conservação local da probabilidade na dinâmica quântica.