[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Demonstre que J satisfaz a equação de continuidade
a qual expressa conservação de probabilidade local. Segue-se (do teorema de divergência) que
em que é um volume (fixo), e , o contorno superficial. Em outras palavras: o fluxo de probabilidade através da superfície é igual à diminuição da probabilidade de se encontrar a partícula no volume.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver aqui. O exercício trata da corrente de probabilidade tridimensional na mecânica quântica e nos pede para mostrar que ela satisfaz a equação de continuidade, que basicamente garante a conservação da probabilidade local. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência, além de entender um pouco sobre funções de onda e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a corrente de probabilidade que foi definida no enunciado:
Aqui, é a função de onda da partícula, é o seu complexo conjugado, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e representa o operador nabla, relacionado ao gradiente.

Passo 3

A equação de continuidade que precisamos demonstrar é:
Essa equação basicamente diz que a divergência da corrente de probabilidade é igual à taxa de variação negativa da densidade de probabilidade . Isso garante que a probabilidade total seja conservada ao longo do tempo.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um vetor é dada por:
Mas, em vez de calcular componente por componente, podemos usar propriedades diferenciais para simplificar o cálculo.

Passo 5

Substituindo na expressão da divergência:
Como é uma constante, podemos trazê-la para fora da divergência:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a regra do produto para a divergência, que diz que:
Aplicando isso aos termos e :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da divergência:
Observe que os termos e se cancelam, restando:

Passo 8

Agora, vamos conectar isso com a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
E a sua equação complementar (ou a equação para ) é:

Passo 9

Vamos manipular essas equações para relacionar e :
De :
De :

Passo 10

Substituindo e na expressão de :

Passo 11

Simplificando os termos:
Os termos envolvendo o potencial se cancelam:
Simplificando as constantes:
Note que :
Isso simplifica para:

Passo 12

Agora, vamos lembrar que a densidade de probabilidade é . Vamos calcular a derivada temporal dessa densidade:

Passo 13

Comparando com a expressão que obtivemos para :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

Portanto, demonstramos que a corrente de probabilidade satisfaz a equação de continuidade:
Isso confirma a conservação local da probabilidade na dinâmica quântica.

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