Demonstre que o tensor
tem traço nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o tensor
tem traço nulo. Isso pertence à matéria de álgebra tensorial, que é super importante na física e matemática avançada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o traço de um tensor e como calcular esse traço para o tensor específico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o traço de um tensor. O traço é basicamente a soma dos elementos na diagonal principal do tensor. Se estamos trabalhando com um tensor de segunda ordem, como é o caso de
, o traço é calculado assim:
Isso significa que a gente soma todos os elementos onde os índices são iguais, ou seja,
, dependendo da dimensão do tensor.
Passo 3
Agora, precisamos ver como esse conceito se aplica ao tensor
. Para dizer que o traço de
é nulo, a gente tem que mostrar que:
Ou seja, a soma dos elementos onde
é igual a zero.
Passo 4
Vamos considerar que
é um tensor que, por sua natureza ou pelas propriedades que ele tem, faz com que os elementos na diagonal se cancelem. Isso pode acontecer, por exemplo, se o tensor for antissimétrico, onde:
No caso de um tensor antissimétrico, os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque:
Passo 5
Se cada elemento na diagonal principal de
é zero, então, somando todos eles, a gente tem:
Resposta
Então, demonstramos que o tensor
tem traço nulo, ou seja,
.