Demonstre que o tensor tem traço nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o tensor tem traço nulo. Isso pertence à matéria de álgebra tensorial, que é super importante na física e matemática avançada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o traço de um tensor e como calcular esse traço para o tensor específico dado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o traço de um tensor. O traço é basicamente a soma dos elementos na diagonal principal do tensor. Se estamos trabalhando com um tensor de segunda ordem, como é o caso de , o traço é calculado assim:
ç
Isso significa que a gente soma todos os elementos onde os índices são iguais, ou seja, , dependendo da dimensão do tensor.

Passo 3

Agora, precisamos ver como esse conceito se aplica ao tensor . Para dizer que o traço de é nulo, a gente tem que mostrar que:
Ou seja, a soma dos elementos onde é igual a zero.

Passo 4

Vamos considerar que é um tensor que, por sua natureza ou pelas propriedades que ele tem, faz com que os elementos na diagonal se cancelem. Isso pode acontecer, por exemplo, se o tensor for antissimétrico, onde:
No caso de um tensor antissimétrico, os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque:

Passo 5

Se cada elemento na diagonal principal de é zero, então, somando todos eles, a gente tem:

Resposta

Então, demonstramos que o tensor tem traço nulo, ou seja, ç.

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