Usando o princípio variacional de Hamilton, encontre as equações de Euler-Lagrange para a densidade lagrangeana L do campo eletromagnético.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o princípio variacional de Hamilton para encontrar as equações de Euler-Lagrange da densidade lagrangiana do campo eletromagnético. Isso está dentro da área de física teórica, especificamente no estudo do campo eletromagnético e teoria de campos. Para resolver, vamos precisar entender o que é a densidade lagrangiana, o princípio variacional e como aplicar as equações de Euler-Lagrange nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade lagrangiana para o campo eletromagnético. Ela é uma função que descreve a dinâmica do campo e é dada por:
Onde é o tensor campo eletromagnético, definido como:
Aqui, é o potencial vetor do campo eletromagnético e representa a derivada parcial em relação à coordenada .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o princípio variacional de Hamilton. Esse princípio afirma que o caminho seguido por um sistema físico entre dois estados é aquele que torna a ação estacionária (ou seja, mínima). A ação é definida como a integral da densidade lagrangiana ao longo do tempo:
Para encontrar as equações de movimento do campo, precisamos aplicar o princípio de mínima ação, ou seja, encontrar as condições para que a variação de seja zero.

Passo 4

As equações de Euler-Lagrange são as condições matemáticas que resultam do princípio variacional. Para um campo , a equação de Euler-Lagrange é dada por:
Vamos calcular cada termo dessa equação usando a densidade lagrangiana que temos.

Passo 5

Primeiro, calculamos . Observando a nossa densidade lagrangiana , vemos que depende de apenas através de . Como é linear em , não há termo direto em na densidade lagrangiana. Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular . A densidade lagrangiana é:
Tomando a derivada em relação a :

Passo 7

Substituindo os resultados nas equações de Euler-Lagrange:
Simplificando:

Resposta

As equações de Euler-Lagrange para a densidade lagrangiana do campo eletromagnético são:

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