Usando o princípio variacional de Hamilton, encontre as equações de Euler-Lagrange para a densidade lagrangeana L do campo eletromagnético.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o princípio variacional de Hamilton para encontrar as equações de Euler-Lagrange da densidade lagrangiana
do campo eletromagnético. Isso está dentro da área de física teórica, especificamente no estudo do campo eletromagnético e teoria de campos. Para resolver, vamos precisar entender o que é a densidade lagrangiana, o princípio variacional e como aplicar as equações de Euler-Lagrange nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade lagrangiana para o campo eletromagnético. Ela é uma função que descreve a dinâmica do campo e é dada por:
Onde
é o tensor campo eletromagnético, definido como:
Aqui,
é o potencial vetor do campo eletromagnético e
representa a derivada parcial em relação à coordenada
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o princípio variacional de Hamilton. Esse princípio afirma que o caminho seguido por um sistema físico entre dois estados é aquele que torna a ação
estacionária (ou seja, mínima). A ação é definida como a integral da densidade lagrangiana ao longo do tempo:
Para encontrar as equações de movimento do campo, precisamos aplicar o princípio de mínima ação, ou seja, encontrar as condições para que a variação de
seja zero.
Passo 4
As equações de Euler-Lagrange são as condições matemáticas que resultam do princípio variacional. Para um campo
, a equação de Euler-Lagrange é dada por:
Vamos calcular cada termo dessa equação usando a densidade lagrangiana que temos.
Passo 5
Primeiro, calculamos
. Observando a nossa densidade lagrangiana
, vemos que
depende de
apenas através de
. Como
é linear em
, não há termo direto em
na densidade lagrangiana. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. A densidade lagrangiana é:
Tomando a derivada em relação a
:
Passo 7
Substituindo os resultados nas equações de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Resposta
As equações de Euler-Lagrange para a densidade lagrangiana do campo eletromagnético são: