Usando o teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões, demonstre que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética totais de um campo eletromagnético (limitado em um volume V onde não existem fontes e é nulo na fronteira desse mesmo volume), se transformam como um 4-vetor.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa usar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões para mostrar que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética total de um campo eletromagnético se transformam como um 4-vetor. Para isso, vamos precisar entender o que é o teorema em quatro dimensões, como ele se aplica aos campos eletromagnéticos e o conceito de 4-vetores na relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões. Esse teorema relaciona a integral de divergência de um campo tensorial sobre um volume 4-dimensional com a integral desse campo sobre a fronteira desse volume. Em notação matemática, fica assim:
Aqui, é o tensor campo eletromagnético, representa a derivada parcial em relação à coordenada , é o volume 4-dimensional e é a fronteira desse volume.

Passo 3

Agora, vamos pensar no momento eletromagnético e na energia eletromagnética total. Esses conceitos estão ligados ��s componentes do tensor de energia-momento , que descreve a densidade de energia e a densidade de momento no campo eletromagnético. A energia total é a componente e o momento total são as componentes , onde varia de 1 a 3.

Passo 4

Para mostrar que essas quantidades formam um 4-vetor, precisamos verificar como elas se transformam sob uma mudança de referência. O Teorema de Gauss-Ostrogradsky nos ajuda a relacionar essas integrais em um volume com integrais na fronteira, e como não há fontes nem campos na fronteira, podemos simplificar a relação.

Passo 5

Aplicando o teorema, e considerando que os campos são nulos na fronteira do volume , a integral na fronteira desaparece. Isso deixa a integral da divergência do tensor energia-momento igual a zero:
Isso nos mostra que a conservação do momento e da energia está expressa de forma covariante, ou seja, preserva a forma sob transformações de Lorentz.

Passo 6

Como a divergência do tensor energia-momento é zero, , isso implica que as componentes de energia e momento estão relacionadas de maneira que formam um 4-vetor. Em outras palavras, a energia e o momento total do campo eletromagnético se combinam para transformar-se de forma consistente com a estrutura da relatividade especial.

Resposta

Portanto, usando o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões, demonstramos que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética total de um campo eletromagnético se transformam como um 4-vetor.

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