Usando o teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões, demonstre que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética totais de um campo eletromagnético (limitado em um volume V onde não existem fontes e é nulo na fronteira desse mesmo volume), se transformam como um 4-vetor.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa usar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões para mostrar que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética total de um campo eletromagnético se transformam como um 4-vetor. Para isso, vamos precisar entender o que é o teorema em quatro dimensões, como ele se aplica aos campos eletromagnéticos e o conceito de 4-vetores na relatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões. Esse teorema relaciona a integral de divergência de um campo tensorial sobre um volume 4-dimensional com a integral desse campo sobre a fronteira desse volume. Em notação matemática, fica assim:
Aqui,
é o tensor campo eletromagnético,
representa a derivada parcial em relação à coordenada
,
é o volume 4-dimensional e
é a fronteira desse volume.
Passo 3
Agora, vamos pensar no momento eletromagnético e na energia eletromagnética total. Esses conceitos estão ligados ��s componentes do tensor de energia-momento
, que descreve a densidade de energia e a densidade de momento no campo eletromagnético. A energia total é a componente
e o momento total são as componentes
, onde
varia de 1 a 3.
Passo 4
Para mostrar que essas quantidades formam um 4-vetor, precisamos verificar como elas se transformam sob uma mudança de referência. O Teorema de Gauss-Ostrogradsky nos ajuda a relacionar essas integrais em um volume com integrais na fronteira, e como não há fontes nem campos na fronteira, podemos simplificar a relação.
Passo 5
Aplicando o teorema, e considerando que os campos são nulos na fronteira do volume
, a integral na fronteira desaparece. Isso deixa a integral da divergência do tensor energia-momento igual a zero:
Isso nos mostra que a conservação do momento e da energia está expressa de forma covariante, ou seja, preserva a forma sob transformações de Lorentz.
Passo 6
Como a divergência do tensor energia-momento é zero,
, isso implica que as componentes de energia e momento estão relacionadas de maneira que formam um 4-vetor. Em outras palavras, a energia e o momento total do campo eletromagnético se combinam para transformar-se de forma consistente com a estrutura da relatividade especial.
Resposta
Portanto, usando o Teorema de Gauss-Ostrogradsky em quatro dimensões, demonstramos que o momento eletromagnético e a energia eletromagnética total de um campo eletromagnético se transformam como um 4-vetor.