Usando as equações de Euler-Lagrange, encontre a força de Lorentz por intermédio do seguinte lagrangeano não-relativista:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar a força de Lorentz a partir do seguinte lagrangiano não-relativista:
Então, vamos precisar entender as equações de Euler-Lagrange, que são usadas na mecânica Lagrangiana para encontrar as equações de movimento de um sistema. Também vamos precisar conhecer um pouco sobre eletromagnetismo, já que estamos lidando com potenciais vetoriais
e escalar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral das equações de Euler-Lagrange. Para uma coordenada
, ela é dada por:
Aqui,
é o lagrangiano do sistema,
são as coordenadas generalizadas e
são as velocidades.
Passo 3
No nosso caso, a coordenada generalizada é a posição
, e a velocidade é
. Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para essa coordenada.
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
Sabemos que
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
:
Isso leva em conta a dependência de
e
em relação à posição.
Passo 6
Agora, aplicando as equações de Euler-Lagrange:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos:
Observamos que alguns termos se cancelam.
Passo 8
Simplificando, ficamos com:
Aqui, usamos a identidade vetorial que relaciona os termos envolvendo
.
Passo 9
Agora, sabemos que os campos elétrico
e magnético
são relacionados aos potenciais por:
Substituindo essas expressões na equação anterior:
Resposta
A força de Lorentz obtida é: