Usando as equações de Euler-Lagrange, encontre a força de Lorentz por intermédio do seguinte lagrangeano não-relativista:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar a força de Lorentz a partir do seguinte lagrangiano não-relativista:
Então, vamos precisar entender as equações de Euler-Lagrange, que são usadas na mecânica Lagrangiana para encontrar as equações de movimento de um sistema. Também vamos precisar conhecer um pouco sobre eletromagnetismo, já que estamos lidando com potenciais vetoriais e escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral das equações de Euler-Lagrange. Para uma coordenada , ela é dada por:
Aqui, é o lagrangiano do sistema, são as coordenadas generalizadas e são as velocidades.

Passo 3

No nosso caso, a coordenada generalizada é a posição , e a velocidade é . Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para essa coordenada.
Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada temporal dessa expressão:
Sabemos que .

Passo 5

Em seguida, vamos calcular :
Isso leva em conta a dependência de e em relação à posição.

Passo 6

Agora, aplicando as equações de Euler-Lagrange:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos:
Observamos que alguns termos se cancelam.

Passo 8

Simplificando, ficamos com:
Aqui, usamos a identidade vetorial que relaciona os termos envolvendo .

Passo 9

Agora, sabemos que os campos elétrico e magnético são relacionados aos potenciais por:
Substituindo essas expressões na equação anterior:

Resposta

A força de Lorentz obtida é:

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