Partindo do lagrangeano relativista de uma partícula carregada, encontre o momento canonicamente conjugado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a partir do lagrangiano relativista de uma partícula carregada, encontrar o momento canonicamente conjugado. Isso envolve conceitos de mecânica relativista e campo eletromagnético. Para resolver, vamos precisar entender o que é o lagrangiano e como calcular o momento canonicamente conjugado a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o lagrangiano relativista para uma partícula carregada. Em relativística, o lagrangiano de uma partícula de massa e carga em um campo eletromagnético é dado por:
Onde:
  • é a velocidade da luz.
  • é a velocidade da partícula.
  • é o potencial elétrico.
  • é o potencial magnético.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o momento canonicamente conjugado. Na mecânica lagrangiana, o momento canônico é dado pela derivada do lagrangiano em relação à velocidade :
Vamos calcular essa derivada passo a passo.

Passo 4

Primeiro, derivamos a parte relativista do lagrangiano:
Isso simplifica para:
Onde é o fator de Lorentz.
Em seguida, derivamos a parte do potencial magnético:

Passo 5

Juntando tudo, o momento canônico conjugado é:
Isso mostra que o momento canônico inclui tanto o momento relativístico clássico quanto uma contribuição do campo magnético através do potencial .

Resposta

O momento canonicamente conjugado é dado por:
Onde , é a massa da partícula, é a velocidade, é a carga, e é o potencial magnético.

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