Partindo do lagrangeano relativista de uma partícula carregada, encontre o momento canonicamente conjugado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a partir do lagrangiano relativista de uma partícula carregada, encontrar o momento canonicamente conjugado. Isso envolve conceitos de mecânica relativista e campo eletromagnético. Para resolver, vamos precisar entender o que é o lagrangiano e como calcular o momento canonicamente conjugado a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o lagrangiano relativista para uma partícula carregada. Em relativística, o lagrangiano
de uma partícula de massa
e carga
em um campo eletromagnético é dado por:
Onde:
-
é a velocidade da luz. -
é a velocidade da partícula. -
é o potencial elétrico. -
é o potencial magnético.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o momento canonicamente conjugado. Na mecânica lagrangiana, o momento canônico
é dado pela derivada do lagrangiano em relação à velocidade
:
Vamos calcular essa derivada passo a passo.
Passo 4
Primeiro, derivamos a parte relativista do lagrangiano:
Isso simplifica para:
Onde
é o fator de Lorentz.
Em seguida, derivamos a parte do potencial magnético:
Passo 5
Juntando tudo, o momento canônico conjugado é:
Isso mostra que o momento canônico inclui tanto o momento relativístico clássico
quanto uma contribuição do campo magnético através do potencial
.
Resposta
O momento canonicamente conjugado é dado por:
Onde
,
é a massa da partícula,
é a velocidade,
é a carga, e
é o potencial magnético.