Derive a fórmula de Stefan-Boltzmann para a densidade de energia total na radiação do corpo negro:
Dica: use a Equação 5.110 para avaliar a integral. Note que .

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é derivar a fórmula de Stefan-Boltzmann para a densidade de energia total na radiação de um corpo negro. Estamos lidando com física térmica, especificamente a teoria da radiação do corpo negro. Para isso, vamos precisar usar a Equação 5.110, que nos ajuda a calcular integrais de funções que aparecem nesse contexto, e também vamos usar que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade de energia de um corpo negro pode ser obtida integrando a distribuição de energia por unidade de volume e por frequência. Isso é dado pela lei de Planck para a radiação do corpo negro:
Onde é a densidade de energia por unidade de frequência.

Passo 3

A lei de Planck nos dá a expressão para :
Aqui, é a constante de Planck, é a velocidade da luz, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 4

Vamos substituir na integral para obter :

Passo 5

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir:
Daí, e . Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando os termos fora da integral:

Passo 7

A integral que restou é conhecida e está relacionada à função zeta de Riemann. Sabemos que:

Passo 8

Substituindo o valor da integral na expressão de :

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
Aqui, , mas para simplificação foi mantido em .

Resposta

A densidade de energia total na radiação do corpo negro é dada por:

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