Derive a fórmula de Stefan-Boltzmann para a densidade de energia total na radiação do corpo negro:
Dica: use a Equação 5.110 para avaliar a integral. Note que
.
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa aqui é derivar a fórmula de Stefan-Boltzmann para a densidade de energia total na radiação de um corpo negro. Estamos lidando com física térmica, especificamente a teoria da radiação do corpo negro. Para isso, vamos precisar usar a Equação 5.110, que nos ajuda a calcular integrais de funções que aparecem nesse contexto, e também vamos usar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a densidade de energia
de um corpo negro pode ser obtida integrando a distribuição de energia por unidade de volume e por frequência. Isso é dado pela lei de Planck para a radiação do corpo negro:
Onde
é a densidade de energia por unidade de frequência.
Passo 3
A lei de Planck nos dá a expressão para
:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 4
Vamos substituir
na integral para obter
:
Passo 5
Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Vamos definir:
Daí,
e
. Substituindo na integral:
Passo 6
Simplificando os termos fora da integral:
Passo 7
A integral que restou é conhecida e está relacionada à função zeta de Riemann. Sabemos que:
Passo 8
Substituindo o valor da integral na expressão de
:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
Aqui,
, mas para simplificação foi mantido em
.
Resposta
A densidade de energia total na radiação do corpo negro é dada por: