Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para calcular o retângulo com maior área, com lados paralelos aos eixos, que possam ser inscritos na elipse . Qual é a área máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa encontrar o retângulo de maior área que pode ser desenhado dentro de uma elipse dada pela equação , com os lados do retângulo paralelos aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Seja um vértice do retângulo no primeiro quadrante. Como o retângulo é simétrico em relação aos eixos, os outros vértices serão , e . A área do retângulo, , é dada por:
Queremos maximizar essa área.

Passo 3

A restrição que temos é que o retângulo deve estar inscrito na elipse, ou seja, o ponto deve satisfazer a equação da elipse:
Essa é a nossa condição que relaciona e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos diz que, para otimizar sujeita à restrição , devemos resolver o sistema dado por:
Onde representa o gradiente e é o multiplicador de Lagrange.
Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar a relação entre e . Dividindo as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos substituir na equação da restrição:
Resolvendo para :
E então, substituindo de volta para :

Passo 6

Agora que temos os valores de e que maximizam a área, vamos calcular a área máxima:

Resposta

A área máxima do retângulo é .

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