Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para calcular o retângulo com maior área, com lados paralelos aos eixos, que possam ser inscritos na elipse
. Qual é a área máxima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa encontrar o retângulo de maior área que pode ser desenhado dentro de uma elipse dada pela equação
, com os lados do retângulo paralelos aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Seja
um vértice do retângulo no primeiro quadrante. Como o retângulo é simétrico em relação aos eixos, os outros vértices serão
,
e
. A área do retângulo,
, é dada por:
Queremos maximizar essa área.
Passo 3
A restrição que temos é que o retângulo deve estar inscrito na elipse, ou seja, o ponto
deve satisfazer a equação da elipse:
Essa é a nossa condição que relaciona
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos diz que, para otimizar
sujeita à restrição
, devemos resolver o sistema dado por:
Onde
representa o gradiente e
é o multiplicador de Lagrange.
Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar a relação entre
e
. Dividindo as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos substituir
na equação da restrição:
Resolvendo para
:
E então, substituindo de volta para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
que maximizam a área, vamos calcular a área máxima:
Resposta
A área máxima do retângulo é
.