Para o gás ideal de Bose, principalmente,
para todo
. Demonstre que, nesse caso,
aumenta monotonicamente conforme
diminui, supondo que
e
ainda sejam constantes. Dica: estude a Equação 5.108 com o sinal negativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que, para um gás ideal de Bose, o potencial químico
aumenta de forma crescente (ou seja, monotonicamente) quando a temperatura
diminui, mantendo o número de partículas
e o volume
constantes. A matéria aqui envolve termodinâmica dos gases quânticos, especificamente o comportamento do potencial químico em relação à temperatura em um gás de Bose.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Equação 5.108, que relaciona o número de partículas
, o volume
, a temperatura
e o potencial químico
no caso de um gás de Bose ideal. A equação geralmente tem a forma:
Aqui,
é o comprimento de onda térmico definido por
,
é a função de Bose-Einstein de ordem
, e
é o fator de fugacidade com
.
Passo 3
Sabemos que, para um gás de Bose, o potencial químico
deve ser sempre menor que zero (
). Vamos analisar como
varia com
mantendo
e
constantes.
A função
depende do fator
, que por sua vez depende de
e
. Se queremos manter
constante e
também constante, qualquer variação em
deve ser compensada por uma variação em
, e consequentemente em
.
Quando a temperatura
diminui, o comprimento de onda térmico
aumenta, o que tende a aumentar
para manter
constante. Para contrabalançar isso,
(e portanto
) deve aumentar. Como
está no expoente de
, um aumento em
faz com que
aumente, ajustando-se para que
reste constante.
Passo 4
Matematicamente, podemos observar que a derivada de
em relação a
será positiva. Isso indica que, conforme
diminui,
aumenta. Essa relação é monotônica porque a função
é estritamente crescente para
(como é o caso, já que
).
Resposta
Assim, demonstramos que, para um gás ideal de Bose com
e
constantes, o potencial químico
aumenta de forma crescente quando a temperatura
diminui.