Para o gás ideal de Bose, principalmente, para todo . Demonstre que, nesse caso, aumenta monotonicamente conforme diminui, supondo que e ainda sejam constantes. Dica: estude a Equação 5.108 com o sinal negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que, para um gás ideal de Bose, o potencial químico aumenta de forma crescente (ou seja, monotonicamente) quando a temperatura diminui, mantendo o número de partículas e o volume constantes. A matéria aqui envolve termodinâmica dos gases quânticos, especificamente o comportamento do potencial químico em relação à temperatura em um gás de Bose.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Equação 5.108, que relaciona o número de partículas , o volume , a temperatura e o potencial químico no caso de um gás de Bose ideal. A equação geralmente tem a forma:
Aqui, é o comprimento de onda térmico definido por , é a função de Bose-Einstein de ordem , e é o fator de fugacidade com .

Passo 3

Sabemos que, para um gás de Bose, o potencial químico deve ser sempre menor que zero ( ). Vamos analisar como varia com mantendo e constantes.
A função depende do fator , que por sua vez depende de e . Se queremos manter constante e também constante, qualquer variação em deve ser compensada por uma variação em , e consequentemente em .
Quando a temperatura diminui, o comprimento de onda térmico aumenta, o que tende a aumentar para manter constante. Para contrabalançar isso, (e portanto ) deve aumentar. Como está no expoente de , um aumento em faz com que aumente, ajustando-se para que reste constante.

Passo 4

Matematicamente, podemos observar que a derivada de em relação a será positiva. Isso indica que, conforme diminui, aumenta. Essa relação é monotônica porque a função é estritamente crescente para (como é o caso, já que ).

Resposta

Assim, demonstramos que, para um gás ideal de Bose com e constantes, o potencial químico aumenta de forma crescente quando a temperatura diminui.

Exercícios de Livros Relacionados