Desenvolva a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema multinível, começando pela generalização das equações 9.1 e 9.2:
Em tempo , ativamos uma perturbação , de modo que o Hamiltoniano total será
Agora, suponha que seja uma função sinusoidal do tempo: . Formulando as hipóteses usuais, demonstre que as transições ocorrem apenas para os estados com energia , e que a probabilidade de transição seja

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente desenvolver a teoria de perturbação que depende do tempo para um sistema com vários níveis de energia. Basicamente, temos um sistema quântico que, a partir do tempo , passa a ter uma perturbação que varia no tempo de forma sinusoidal. Para resolver isso, vamos precisar entender como a perturbação afeta as transições entre os diferentes estados de energia do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Hamiltoniano do sistema sem a perturbação, que é dado por . As funções de onda são soluções dessa parte do Hamiltoniano, com energias . As equações que descrevem isso são:
Aqui, é a delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário, garantindo que as funções de onda sejam ortogonais.

Passo 3

Agora, adicionamos a perturbação ao Hamiltoniano total:
A perturbação é uma função do tempo, e no nosso caso, ela é sinusoidal:
Aqui, é a amplitude da perturbação e é a frequência angular.

Passo 4

Para entender como essa perturbação afeta o sistema, usamos a teoria de perturbação dependente do tempo. Nessa teoria, assumimos que a perturbação é pequena e tratamos o efeito dela como uma correção ao sistema não perturbado .
As equações de Schrödinger na interação podem ser usadas para calcular as amplitudes de transição entre os estados e .

Passo 5

A transição de um estado para outro ocorre apenas se a energia do estado final for igual à energia do estado inicial mais ou menos a energia da perturbação . Isso se chama ressonância:
Isso significa que a perturbação pode adicionar ou remover um fóton de energia do sistema, levando a uma transição entre estados energéticos.

Passo 6

A probabilidade de ocorrer essa transição pode ser calculada usando a primeira ordem da teoria de perturbação. A fórmula resultante é:
Aqui, é o elemento de matriz entre os estados e , que representa a força da interação entre esses estados devido à perturbação.

Resposta

Portanto, demonstramos que as transições entre os estados ocorrem apenas quando e a probabilidade de transição é dada por:

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