Desenvolva a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema multinível, começando pela generalização das equações 9.1 e 9.2:
Em tempo
, ativamos uma perturbação
, de modo que o Hamiltoniano total será
Agora, suponha que
seja uma função sinusoidal do tempo:
. Formulando as hipóteses usuais, demonstre que as transições ocorrem apenas para os estados com energia
, e que a probabilidade de transição seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente desenvolver a teoria de perturbação que depende do tempo para um sistema com vários níveis de energia. Basicamente, temos um sistema quântico que, a partir do tempo
, passa a ter uma perturbação que varia no tempo de forma sinusoidal. Para resolver isso, vamos precisar entender como a perturbação afeta as transições entre os diferentes estados de energia do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Hamiltoniano do sistema sem a perturbação, que é dado por
. As funções de onda
são soluções dessa parte do Hamiltoniano, com energias
. As equações que descrevem isso são:
Aqui,
é a delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário, garantindo que as funções de onda sejam ortogonais.
Passo 3
Agora, adicionamos a perturbação
ao Hamiltoniano total:
A perturbação é uma função do tempo, e no nosso caso, ela é sinusoidal:
Aqui,
é a amplitude da perturbação e
é a frequência angular.
Passo 4
Para entender como essa perturbação afeta o sistema, usamos a teoria de perturbação dependente do tempo. Nessa teoria, assumimos que a perturbação é pequena e tratamos o efeito dela como uma correção ao sistema não perturbado
.
As equações de Schrödinger na interação podem ser usadas para calcular as amplitudes de transição entre os estados
e
.
Passo 5
A transição de um estado
para outro
ocorre apenas se a energia do estado final
for igual à energia do estado inicial
mais ou menos a energia da perturbação
. Isso se chama ressonância:
Isso significa que a perturbação pode adicionar ou remover um fóton de energia
do sistema, levando a uma transição entre estados energéticos.
Passo 6
A probabilidade de ocorrer essa transição
pode ser calculada usando a primeira ordem da teoria de perturbação. A fórmula resultante é:
Aqui,
é o elemento de matriz entre os estados
e
, que representa a força da interação entre esses estados devido à perturbação.
Resposta
Portanto, demonstramos que as transições entre os estados ocorrem apenas quando
e a probabilidade de transição é dada por: