Ressonância magnética. Uma partícula de spin
com razão giromagnética
, em repouso em um campo magnético estático
, precessiona na frequência de Larmor
(Exemplo 4.3). Agora, ativamos um pequeno campo transverso de radiofrequência (rf),
, de modo que o campo total será
$\operatorname{Se} \chi(t)=\binom{a(t)}{b(t)}$ éo estado de spin no tempo $t$, mostre que
$\operatorname{Se} \chi(t)=\binom{a(t)}{b(t)}$ éo estado de spin no tempo $t$, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com spin ½ que está num campo magnético estático
na direção
. Além disso, você liga um campo de radiofrequência (rf) transversal que varia com o tempo. O objetivo aqui é mostrar como o estado de spin
evolui com o tempo nesse campo magnético total. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger para sistemas de spin em campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o comportamento de um spin em um campo magnético é descrito pela equação de Schrödinger dependente do tempo:
Aqui,
é o hamiltoniano do sistema, que representa a energia total. Para uma partícula de spin-½ em um campo magnético
, o hamiltoniano é dado por:
Onde
é a razão giromagnética e
são os operadores de spin.
Passo 3
Vamos substituir o campo magnético total
na expressão do hamiltoniano. Dado:
E sabendo que os operadores de spin para uma partícula de spin-½ são:
Onde
são as matrizes de Pauli:
Passo 4
Substituindo
e
no hamiltoniano:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação de Schrödinger:
Podemos simplificar cancelando
de ambos os lados:
Passo 6
Para facilitar, vamos definir
, que é a frequência de Larmor. Além disso, note que os termos com
representam o campo de radiofrequência que está girando no plano
. A ideia é transformar essa equação para um referencial que gira com a frequência
, o que simplifica a equação diferencial.
Passo 7
Aplicamos uma transformação de fase ao estado de spin:
Essa transformação nos permite trabalhar no referencial que gira com a frequência
, eliminando a dependência explícita do tempo nos termos de RF.
Passo 8
Substituindo
na equação de Schrödinger e realizando os cálculos, chegamos a uma nova equação para
:
Aqui, a frequência de Larmor efetiva é
.
Passo 9
Essa nova equação é mais simples e descreve um sistema de spin-½ em um campo magnético efetivo
:
A solução dessa equação dará a evolução do estado
, e consequentemente, de
.
Passo 10
Resolvendo a equação diferencial, assumindo condições iniciais
e
, encontramos:
Onde
é a frequência de Rabi.
Resposta
Portanto, o estado de spin no tempo
é dado por:
Onde
representa a frequência de Rabi do sistema.