Ressonância magnética. Uma partícula de spin com razão giromagnética , em repouso em um campo magnético estático , precessiona na frequência de Larmor (Exemplo 4.3). Agora, ativamos um pequeno campo transverso de radiofrequência (rf), , de modo que o campo total será
$\operatorname{Se} \chi(t)=\binom{a(t)}{b(t)}$ éo estado de spin no tempo $t$, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com spin ½ que está num campo magnético estático na direção . Além disso, você liga um campo de radiofrequência (rf) transversal que varia com o tempo. O objetivo aqui é mostrar como o estado de spin evolui com o tempo nesse campo magnético total. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger para sistemas de spin em campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o comportamento de um spin em um campo magnético é descrito pela equação de Schrödinger dependente do tempo:
Aqui, é o hamiltoniano do sistema, que representa a energia total. Para uma partícula de spin-½ em um campo magnético , o hamiltoniano é dado por:
Onde é a razão giromagnética e são os operadores de spin.

Passo 3

Vamos substituir o campo magnético total na expressão do hamiltoniano. Dado:
E sabendo que os operadores de spin para uma partícula de spin-½ são:
Onde são as matrizes de Pauli:

Passo 4

Substituindo e no hamiltoniano:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos na equação de Schrödinger:
Podemos simplificar cancelando de ambos os lados:

Passo 6

Para facilitar, vamos definir , que é a frequência de Larmor. Além disso, note que os termos com representam o campo de radiofrequência que está girando no plano . A ideia é transformar essa equação para um referencial que gira com a frequência , o que simplifica a equação diferencial.

Passo 7

Aplicamos uma transformação de fase ao estado de spin:
Essa transformação nos permite trabalhar no referencial que gira com a frequência , eliminando a dependência explícita do tempo nos termos de RF.

Passo 8

Substituindo na equação de Schrödinger e realizando os cálculos, chegamos a uma nova equação para :
Aqui, a frequência de Larmor efetiva é .

Passo 9

Essa nova equação é mais simples e descreve um sistema de spin-½ em um campo magnético efetivo :
A solução dessa equação dará a evolução do estado , e consequentemente, de .

Passo 10

Resolvendo a equação diferencial, assumindo condições iniciais e , encontramos:
Onde é a frequência de Rabi.

Resposta

Portanto, o estado de spin no tempo é dado por:
Onde representa a frequência de Rabi do sistema.

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