Desenvolva a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema multinível, começando pela generalização das equações 9.1 e 9.2:
Em tempo , ativamos uma perturbação , de modo que o Hamiltoniano total será
Se o sistema se encontra no estado demonstre que (na teoria de perturbação de primeira ordem)
e
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenvolver a teoria de perturbação dependente do tempo pra um sistema com múltiplos níveis de energia. Isso quer dizer que temos um sistema cujas energias e estados podem mudar um pouquinho devido a uma perturbação aplicada. A gente vai precisar entender o Hamiltoniano do sistema, que é tipo o “cérebro” que controla a energia do sistema, e como essa perturbação afeta os estados do sistema ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sem a perturbação, o Hamiltoniano do sistema é e tem estados próprios com energias . Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso significa que os estados são ortonormais e não mistura esses estados.

Passo 3

Agora, a gente liga uma perturbação no tempo . O Hamiltoniano total fica então:
Essa perturbação pode fazer com que o sistema mude de um estado para outro ao longo do tempo.

Passo 4

Vamos supor que inicialmente, no tempo , o sistema está no estado . Queremos saber como o sistema evolui com o tempo devido à perturbação .
Para isso, escrevemos o estado do sistema como uma combinação linear dos estados próprios:
Aqui, são os coeficientes de probabilidade que indicam a amplitude do sistema estar no estado no tempo .

Passo 5

A equação de Schrödinger para esse sistema é:
Substituindo a expressão do estado, e fazendo alguns passos de álgebra (que envolvem multiplicar pelos estados próprios e usar a ortonormalidade), chegamos a uma equação para os coeficientes .

Passo 6

Aplicando a teoria de perturbação de primeira ordem, a gente assume que são pequenos e pode aproximar as soluções. Isso simplifica a equação e permite resolver para de forma iterativa.

Passo 7

Para o coeficiente do estado inicial , que era 1 no tempo inicial, a primeira ordem da perturbação nos dá:
Isso mostra que a amplitude de permanecer no estado inicial diminui um pouquinho devido à perturbação.

Passo 8

Para os outros estados , a amplitude para o sistema estar nesse estado é dada por:
Isso mostra como a perturbação pode “empurrar” o sistema para outros estados com diferentes energias.

Resposta

Assim, na teoria de perturbação de primeira ordem, os coeficientes são aproximadamente:
e para ,

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