Desenvolva a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema multinível, começando pela generalização das equações 9.1 e 9.2:
Em tempo
, ativamos uma perturbação
, de modo que o Hamiltoniano total será
Se o sistema se encontra no estado
demonstre que (na teoria de perturbação de primeira ordem)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenvolver a teoria de perturbação dependente do tempo pra um sistema com múltiplos níveis de energia. Isso quer dizer que temos um sistema cujas energias e estados podem mudar um pouquinho devido a uma perturbação aplicada. A gente vai precisar entender o Hamiltoniano do sistema, que é tipo o “cérebro” que controla a energia do sistema, e como essa perturbação afeta os estados do sistema ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que sem a perturbação, o Hamiltoniano do sistema é
e tem estados próprios
com energias
. Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso significa que os estados
são ortonormais e
não mistura esses estados.
Passo 3
Agora, a gente liga uma perturbação
no tempo
. O Hamiltoniano total fica então:
Essa perturbação pode fazer com que o sistema mude de um estado para outro ao longo do tempo.
Passo 4
Vamos supor que inicialmente, no tempo
, o sistema está no estado
. Queremos saber como o sistema evolui com o tempo devido à perturbação
.
Para isso, escrevemos o estado do sistema como uma combinação linear dos estados próprios:
Aqui,
são os coeficientes de probabilidade que indicam a amplitude do sistema estar no estado
no tempo
.
Passo 5
A equação de Schrödinger para esse sistema é:
Substituindo a expressão do estado, e fazendo alguns passos de álgebra (que envolvem multiplicar pelos estados próprios e usar a ortonormalidade), chegamos a uma equação para os coeficientes
.
Passo 6
Aplicando a teoria de perturbação de primeira ordem, a gente assume que
são pequenos e pode aproximar as soluções. Isso simplifica a equação e permite resolver para
de forma iterativa.
Passo 7
Para o coeficiente do estado inicial
, que era 1 no tempo inicial, a primeira ordem da perturbação nos dá:
Isso mostra que a amplitude de permanecer no estado inicial diminui um pouquinho devido à perturbação.
Passo 8
Para os outros estados
, a amplitude
para o sistema estar nesse estado é dada por:
Isso mostra como a perturbação pode “empurrar” o sistema para outros estados com diferentes energias.
Resposta
Assim, na teoria de perturbação de primeira ordem, os coeficientes são aproximadamente:
e para
,