Uma partícula de massa está, inicialmente, no estado fundamental do poço quadrado infinito (unidimensional). Em tempo , um ‘tijolo’ é jogado dentro do poço, de modo que o potencial se torna
á
em que . Após um tempo , o tijolo é removido e a energia da partícula é medida. Encontre a probabilidade (nos termos da teoria de perturbação de primeira ordem) em que o resultado seja .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula de massa que está no estado fundamental de um poço quadrado infinito unidimensional. No tempo , jogamos um “tijolo” no poço, alterando o potencial para:
á
Sabemos que , e após um tempo , o tijolo é removido e medimos a energia da partícula. Precisamos encontrar a probabilidade, usando a teoria de perturbação de primeira ordem, de que a energia medida seja . Para resolver isso, vamos precisar entender os estados e energias de um poço infinito e aplicar a teoria de perturbação de primeira ordem para calcular a probabilidade de transição entre os estados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os estados e as energias de um poço quadrado infinito. Os estados estacionários são dados por funções de onda do tipo:
e as energias correspondentes são:
onde

Passo 3

Agora, vamos considerar a perturbação introduzida pelo “tijolo”. Essa perturbação muda o potencial no intervalo de a para . Podemos tratar essa mudança como uma perturbação ao Hamiltoniano original. A matriz de elementos de matriz é dada por:

Passo 4

Como a perturbação é diferente de zero apenas entre e , a integral fica:
Substituindo as funções de onda:

Passo 5

Para calcular essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Simplificando os limites de integração:

Passo 7

Para encontrar a probabilidade de transição do estado para , calculamos :
Sabendo que e :

Passo 8

A probabilidade de transição na teoria de perturbação de primeira ordem é dada por:
Substituindo :

Resposta

A probabilidade de a partícula estar no estado após o tempo é:

Exercícios de Livros Relacionados