Uma partícula de massa está, inicialmente, no estado fundamental do poço quadrado infinito (unidimensional). Em tempo , um ‘tijolo’ é jogado dentro do poço, de modo que o potencial se torna
em que . Após um tempo , o tijolo é removido e a energia da partícula é medida. Encontre a probabilidade (nos termos da teoria de perturbação de primeira ordem) em que o resultado seja .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula de massa que está no estado fundamental de um poço quadrado infinito unidimensional. No tempo , jogamos um “tijolo” no poço, alterando o potencial para:
á
Sabemos que , e após um tempo , o tijolo é removido e medimos a energia da partícula. Precisamos encontrar a probabilidade, usando a teoria de perturbação de primeira ordem, de que a energia medida seja . Para resolver isso, vamos precisar entender os estados e energias de um poço infinito e aplicar a teoria de perturbação de primeira ordem para calcular a probabilidade de transição entre os estados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os estados e as energias de um poço quadrado infinito. Os estados estacionários são dados por funções de onda do tipo:
e as energias correspondentes são:
onde
Passo 3
Agora, vamos considerar a perturbação introduzida pelo “tijolo”. Essa perturbação muda o potencial no intervalo de a para . Podemos tratar essa mudança como uma perturbação ao Hamiltoniano original. A matriz de elementos de matriz é dada por:
Passo 4
Como a perturbação é diferente de zero apenas entre e , a integral fica:
Substituindo as funções de onda:
Passo 5
Para calcular essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Simplificando os limites de integração:
Passo 7
Para encontrar a probabilidade de transição do estado para , calculamos :
Sabendo que e :
Passo 8
A probabilidade de transição na teoria de perturbação de primeira ordem é dada por:
Substituindo :
Resposta
A probabilidade de a partícula estar no estado após o tempo é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 9.Outros problemas - Ex. *Problema 9.18