Desenvolva a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema multinível, começando pela generalização das equações 9.1 e 9.2:
Em tempo
, ativamos uma perturbação
, de modo que o Hamiltoniano total será
Suponha que um sistema multinível esteja imerso em radiações eletromagnéticas incoerentes. Utilizando a Seção 9.2.3 como guia, demonstre que a taxa de transição para uma emissão estimulada é dada pela mesma fórmula (Equação 9.47) de um sistema de dois níveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra desenvolver a teoria de perturbação dependente do tempo para um sistema com vários níveis de energia. A gente começa generalizando as equações 9.1 e 9.2, que são fundamentais na teoria de perturbação. Precisamos entender como adicionar uma perturbação
ao Hamiltoniano
do sistema e calcular a taxa de transição para uma emissão estimulada, que deve seguir a mesma fórmula da equação 9.47 para sistemas de dois níveis. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e teoria de perturbação dependente do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Hamiltoniano total do sistema é dado por:
Aqui,
é o Hamiltoniano não perturbado, e
é a perturbação que depende do tempo, ativada em
. As funções de onda
são os autovalores de
com energias
, e elas são ortonormais, ou seja:
Passo 3
Agora, para resolver esse sistema, usamos a teoria de perturbação dependente do tempo. A ideia é que, se a perturbação
for pequena, podemos tratar seus efeitos como uma correção no estado do sistema. As equações de Schrödinger dependentes do tempo nos ajudam a calcular as probabilidades de transição entre os diferentes níveis de energia devido à perturbação.
Passo 4
A taxa de transição para uma emissão estimulada em um sistema de dois níveis é dada pela equação 9.47, que tem a forma:
Aqui,
é a taxa de transição do estado inicial
para o estado final
,
é a densidade de estados no nível de energia
, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 5
Para generalizar isso para um sistema multinível, consideramos que o sistema pode transitar de um estado inicial para múltiplos estados finais. A taxa de transição total será a soma das taxas individuais para cada possível estado final. Como as radiações eletromagnéticas são incoerentes, as interferências entre diferentes caminhos de transição podem ser ignoradas, e a taxa total de transição permanece a mesma fórmula da equação 9.47, adaptada para múltiplos estados finais.
Resposta
A taxa de transição para uma emissão estimulada em um sistema multinível é dada por: