Uma partícula se encontra (em tempo no N -ésimo estado do poço quadrado infinito. Agora, o ‘piso’ do poço aumenta temporariamente (talvez porque entre ali um pouco de água que, mais tarde, vai desaparecer), de modo que o potencial dentro dele é uniforme e dependente do tempo: .
Analise o mesmo problema nos termos da teoria de perturbação de primeira ordem e compare as respostas.
Comentário: o mesmo resultado é encontrado sempre que a perturbação simplesmente adicionar uma constante (constante em , isto é, não em ) no potencial; não tem nada a ver com o poço quadrado infinito. Compare com o Problema 1.8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está no N-ésimo estado de um poço quadrado infinito no tempo inicial ( ). De repente, o “piso” desse poço aumenta temporariamente, fazendo com que o potencial dentro dele passe a ser , que depende do tempo e volta ao normal depois de um tempo ( ). Nosso objetivo aqui é analisar esse problema usando a Teoria de Perturbação de Primeira Ordem e comparar os resultados.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a teoria de perturbação funciona, especialmente quando adicionamos uma constante ao potencial. Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a perturbação no nosso sistema. No caso, o potencial original é o do poço quadrado infinito, que a gente conhece bem. A perturbação é essa variação temporária no potencial, , que adiciona uma constante ao potencial dentro do poço durante o intervalo de tempo .

Passo 3

Agora, lembrando da Teoria de Perturbação de Primeira Ordem, ela nos diz como pequenas mudanças no Hamiltoniano (que descreve nosso sistema) afetam os estados de energia. Quando adicionamos uma perturbação, os estados de energia e as funções de onda mudam um pouquinho, e queremos calcular essas mudanças.
No nosso caso, a perturbação é uma constante em (não depende da posição, apenas do tempo). Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 4

Vamos calcular a correção de primeira ordem à energia para o estado N. Segundo a teoria, a correção de primeira ordem é o valor esperado da perturbação no estado inicial. Isso significa que:
Como é uma constante, ele simplesmente multiplica a função de onda, e o valor esperado será:
Então, a correção de energia de primeira ordem é igual à perturbação .

Passo 5

Como a perturbação é apenas uma constante, ela não causa nenhuma transição entre diferentes estados de energia. Isso porque os elementos de matriz para serão zero. Ou seja, a probabilidade de a partícula pular de um estado N para outro estado m diferente é nula nesse caso.

Passo 6

Também é importante notar que, mesmo com a perturbação variando no tempo, como ela retorna a zero depois de um tempo , ela não altera de forma permanente os níveis de energia do sistema. A partícula simplesmente acumula uma fase extra no seu estado de energia devido à perturbação temporária.

Resposta

Usando a teoria de perturbação de primeira ordem, a correção na energia do estado N é igual à perturbação temporal, ou seja, . Além disso, não há transições entre estados diferentes devido à perturbação constante no potencial.

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